Hướng dẫn giải toán đại 9 chương 3 bài 1

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng \(ax+by=c\), trong đó a,b,c là các số đã biết (\(a \neq 0\) hoặc \(b \neq 0\))

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình \(ax+by=c\) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \((x_o;y_o)\) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \((x_o;y_o)\)

1.2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax+by=c\) luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng \(ax+by=c\), kí hiệu là \((d)\)

Nếu \(a \neq 0\) và \(b \neq 0\) thì \((d)\) là đồ thị của hàm số bậc nhất \(y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Câu 1: Tìm hai nghiệm của của phương trình \(x+2y=1\).

Hướng dẫn giải

Lần lượt cho \(y=0\) và \(y=1\) ta được \(x=1\) và \(x=-1\) nên \((1;0)\) và \((-1;1)\) là hai nghiệm của phương trình \(x+2y=1\).

Câu 2: Cặp số \((1;1)\) có phải là nghiệm của phương trình \(x+y=1\) không?

Hướng dẫn giải

Ta có \(1+1=2 \neq 1\) nên \((1;1)\) không là nghiệm của phương trình \(x+y=1\).

Câu 3: Cho hai cặp số \((1;2)\) và \((0;1)\). Hỏi cặp số nào là nghiệm của phương trình \(2x+3y=8\)?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(2.1+3.2=8\) và \(2.0+3.1=3 \neq 8\) nên \((1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x+3y=8\)

2.2. Bài tập nâng cao

Câu 1: Cho phương trình \((m-2)x+(m-1)y=1\) (m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình này luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

Hướng dẫn giải

Gọi (d) là đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình \((m-2)x+(m-1)y=1\) thì (d): \((m-2)x+(m-1)y=1\). Giả sử (d) luôn đi qua \(M(x_o;y_o)\) với mọi m

Khi đó \((m-2)x_o+(m-1)y_o=1\) với mọi m

Suy ra \((x_o+y_o)m-(2x_o+y_o+1)=0\) với mọi m

\(<=>\left\{\begin{matrix} x_o+y_o=0\\ 2x_o+y_o+1=0 \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} x_o=-1\\ y_o=1 \end{matrix}\right.\). Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định \(M(-1;1)\).

Câu 2: Tìm các điểm nằm trên đường thẳng \(8x+9y=-79\), có hoành độ và tung độ là các số nguyên và nằm bên trong các vuông phần tư III.

Hướng dẫn giải

Ta cần tìm nghiệm nguyên âm của phương trình 8x+9y=-79. Rút x từ phương trình ta được:

\(x=\frac{-9y-79}{8}=-y-10+\frac{1-y}{8}\)

Đặt \(\frac{1-y}{8}=k (k \in \mathbb{Z})\) thì \(y=1-8k\). Từ đó tính được \(x=9k-11\)

Giải điều kiện \(\left\{\begin{matrix} 9k-11<0\\ 1-8k<0 \end{matrix}\right.<=>\frac{1}{8}k=1\) (Do \(k \in \mathbb{Z}\)). Vậy có một điểm duy nhất phải tìm là \((-2;-7)\).

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Trong các cặp số \((-2; 1),(0;2); (-1; 0), (1,5; 3)\) và \((4; -3)\), cặp số nào là nghiệm của phương trình:

1. \(5x + 4y = 8\)

2. \(3x + 5y = -3\)

Câu 2: Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

1. \(3x - y = 2\) b) \(x + 5y = 3\)

3. \(4x - 3y = -1\) d) \(x +5y = 0\)

5. \(4x + 0y = -2\) f) \(0x + 2y = 5\)

Câu 3: Cho hai phương trình \(x + 2y = 4\) và \(x - y = 1\). Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết tọa độ của nó là nghiệm của các phương trình nào.

Câu 4: Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau:

1. \(2x - y = 3\)

2. \(x + 2y = 4\)

3. \(3x - 2y = 6\)

4. \(2x + 3y = 5\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng 3x – 2y = 3:

1. (1 ; 3) B. (2 ; 3)

3. (3 ; 3) D. (4 ; 3)

Câu 2: Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình \(2x+y=3\)?

1. (1;1)

2. (0;1)

3. (0;3)

4. (2;-1)

Câu 3: Cho phương trình \((m+2)x-my=-1\) (m là tham số). Hỏi phương trình luôn có nghiệm là bao nhiêu với mọi m?

1. \((\frac{-1}{2};\frac{-1}{2})\)

2. \((\frac{1}{2};\frac{-1}{2})\)

3. \((\frac{-1}{2};\frac{1}{2})\)

4. \((\frac{1}{2};\frac{1}{2})\)

Câu 4: Cho phương trình \((2m+3)x+(m+5)y=1-4m\) (m là tham số). Hỏi phương trình luôn có nghiệm là bao nhiêu với mọi m?

1. (-3;2)

2. (1;1)

3. (3;2)

4. (3;-2)

Câu 5: Đường thẳng \((d): ax+by=6\) (với \(a>0,b>0\)) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9. Tìm tích ab.