Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước
|
Cho hai đường thẳng $d:y = x + 3$ và $d':y = - 2x$. Khi đó
Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.  Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là B. + Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng... ( theo tham số t). => Tọa độ AB→ + Xác định vecto chỉ phương u1→ của đường thẳng d1. + Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 nên => =>Phương trình ẩn t ....=> t= ... => Tọa độ điểm B. + Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. Ví dụ 1. Cho đường thẳng d1 có phương trình tham số: A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải +Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là: Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là B. + Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng B( -3;1-t;2t) => Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 nên ta có: ⇔ ⇔ 0. (-3) – 1( - t) + 2.2t= 0 ⇔ 5t= 0 ⇔ t= 0 Suy ra tọa độ B( - 3; 1; 0) + Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 0) và có vecto chỉ phương: Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn A. Ví dụ 2. Cho điểm A( -1; -2; 3) và đường thẳng d: A . ( 4; 4; 0) B. (2; -2; 1) C. ( 2;4; 1) D. ( 3; -3;0) Hướng dẫn giải Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M Khi đó : Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: Khi đó : ⇔ 1. 2t+ 1( 3+ 2t) – 2( - 4t- 3) =0 ⇔ 2t+ 3+ 2t+ 8t+ 6 = 0⇔ 12t + 9= 0 ⇔ t= (-3)/4 Suy ra Chọn D. Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A(1; 0;2) và đường thẳng d có phương trình A. B. C. D. Hướng dẫn giải Ta có Gọi :
Do ⇔t+t+2(2t-3)=0⇔6t-6=0 nên t=1⇒ Đường thẳng Δ đi qua A và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình Chọn B. Ví dụ 4. Cho đường thẳng Δ có phương trình chính tắc: A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Ta có đường thẳng Δ có vecto chỉ phương Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là B. + Vì B thuộc đường thẳng Δ nên tọa độ B có dạng B( 1+3t; -1-2t; t) => + Do ⇔ 3( 2+ 3t) – 2( - 3 -2t) + 1. t= 0 ⇔ 6+ 9t + 6 + 4t + t= 0 ⇔ 14t+ 12= 0 ⇔ t= (- 6)/7 => Tọa độ giao điểm của d và Δ là Chọn A. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M( 1;1;1) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2;0) và B(-1;3;3). Gọi Δ là đưởng thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và Δ cắt nhau tại A. 16 B. – 10 C. 18 D. -8 Hướng dẫn giải + Đường thẳng d đi qua hai điểm A( 1;2;0) và B( -1; 3;3) nên đường thẳng này nhận vecto => Phương trình đường thẳng d: + Gọi N là giao điểm của Δ và d. Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N( 1- 2t; 2+ t; 3t) => + Do ⇔ - 2. (-2t) + 1. ( 1+ t) + 3( 3t-1) = 0 ⇔ 4t+ 1+ t+ 9t – 3 = 0⇔ 14t - 2= 0 ⇔ t= 1/7 => Tọa độ điểm => a= 15 và b= 3 nên a+ b= 18 Chon C. Ví dụ 6: Cho điểm A (-4; -2; 4) và đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: - Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là Phương trình mặt phẳng (P) là: 2.(x + 4) – 1 . (y + 2) + 4. (z – 4) = 0 hay 2x – y + 4z – 10 = 0 - Gọi giao điểm của ( P) và d1 là B( -3+ 2t; 1- t; - 1+ 4t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được: 2( -3+ 2t)- ( 1-t)+ 4(- 1+4t) – 10= 0 ⇔ - 6+ 4t – 1+ t – 4+ 16t – 10=0 ⇔ 21t – 21= 0 ⇔ t= 1 => B (-1; 0; 3) - Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B Vectơ chỉ phương của d là: Vậy phương trình đường thẳng d là: Cách 2: Vecto chỉ phương của đường thẳng d1 là: Gọi B là giao điểm của d và d1, vì d vuông góc với d1 nên Tọa độ của B (-3+2t; 1-t;-1+4t) => ⇔2(1+2t)-(3-t)+4(-5+4t)=0 ⇔t=1 => Vậy phương trình của d là :
Ví dụ 7: Cho điểm A (2; 3; -1) và đường thẳng A ( 6; 5; -32) B. ( 6; -5; 16) C. ( - 12; -10; 64) D. ( -18; -15; 96) Hướng dẫn giải + Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương + Gọi B là giao điểm của d và d1, vì d vuông góc với d1 nên Tọa độ của B (2t; 4t;3+t) => + => + Ta thấy các vecto trong các phương án A; C; D cùng phương với vecto AB→ nên các vecto trong các phương án A; C và D cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d. Chọn B. Ví dụ 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm O và M( 1; 2; -1). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(-1;2;-1), cắt và vuông góc với d là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. Gọi giao điểm của d và Δ là B. + Đường thẳng d đi qua hai điểm O và M (1; 2; -1) nên đường thẳng này nhận vecto => Phương trình đường thẳng d: + Do B thuộc d nên tọa độ B( t; 2t; - t) => + Đường thẳng d có vectơ chỉ phương + Do + Đường thẳng Δ đi qua điểm A( -1;2; -1) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình của Δ là: Chọn D. Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): 2x+ y- z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được: ⇒2t-2+t-(2-2t)-1=0⇔5t-5=0 ⇔ t=1⇒M(1;-1;0)∈Δ. Ta có Vecto pháp tuyến của (P) là : Vecto chỉ phương của đường thẳng d là Khi đó ⇒ . Chọn C. Câu 1: Cho đường thẳng d1 có phương trình tham số: A. B. C. D. Đáp án khác Lời giải: +Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là: Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là B. + Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng B(-t; 2t; -1-t) => Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d1 nên ta có: ⇔ ⇔ - 1( - t) + 2( 2t- 1) – 1( - 3- t) = 0 ⇔ t+ 4t- 2+ 3+ t= 0 ⇔ 6t+ 1= 0 ⇔ t= (- 1)/6 Suy ra tọa độ + Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 2) và có vecto chỉ phương: Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn B. Câu 2: Cho điểm A( -3; 1; 2) và đường thẳng A . 6 B. 8 C. D. Lời giải: Khi đó Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: Khi đó ⇔ - 2( - 4- 2t) + 1( t- 1) + 1(t- 1)= 0 ⇔ 8+ 4t + t- 1+ t- 1= 0 ⇔ 6t + 6= 0 ⇔ t= - 1 Suy ra => Chọn D. Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A( - 3;1; -2); B ( 1; 3;0) và đường thẳng d có phương trình A. B. C. D. Lời giải: Do M là trung điểm AB nên tọa độ M( - 1; 2; -1). Ta có Gọi Do ⇔ ⇒ Đường thẳng Δ đi qua M và nhận Chọn B. Câu 4: Cho đường thẳng Δ có phương trình A. ( 0; -1; 2) B. ( -2; -3; 2) C. (1; 0;2) D. ( 2; 3; 2) Lời giải: + Ta có đường thẳng Δ có vecto chỉ phương Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là B. + Vì B thuộc đường thẳng Δ nên tọa độ B có dạng B( -2t; -1-2t; 2) => Do ⇔ - 2( -2t+ 3) – 2( 1-2t) + 0.2 = 0 ⇔ 4t – 6 – 2 + 4t+ 0 = 0 ⇔ 8t- 8= 0 ⇔ t= 1 => Tọa độ giao điểm của d và Δ là B ( -2; - 3; 2) Chọn B. Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M(2; 0;2) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(-1; 2;-2) và B(0; -1; 2). Gọi Δ là đường thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và Δ cắt nhau tại N . Tìm hoành độ điểm N? A.(-1)/28 B.(- 1)/18 C. (- 1)/26 D.3/2 Lời giải: + Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto => Phương trình đường thẳng d: + Gọi N là giao điểm của Δ và d. Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N(-1+ t; 2- 3t; -2+ 4t) => Do ⇔ 1( -3+ t) – 3( 2- 3t) + 4( - 4+ 4t)= 0 ⇔ - 3+ t – 6 +9t – 16 + 16t = 0 ⇔ 26t - 25= 0 ⇔ t= 25/26 => Hoành độ điểm N: Chon C. Câu 6: Cho điểm A ( 2;1; 0); B( -1; 2; -1) và C( -2; 0;0). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng BC? A. B. C. D. Lời giải: + Vecto chỉ phương của đường thẳng BC là: => Phương trình đường thẳng BC: + Gọi D là giao điểm của d và BC, vì d vuông góc với BC nên Tọa độ của D (-2-t;-2t;t) => Do
⇔ 4+ t + 4t+ 2 + t= 0 ⇔6t+ 6= 0 ⇔t=-1 => Vậy phương trình của d là : Chọn B. Câu 7: Cho điểm A (-2; 1; 4) và đường thẳng A ( 6; - 12; -12) B. ( 7; - 6; -6) C. ( 14; -9; -9) D. (- 6; 9; 9) Lời giải: + Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương + Gọi B là giao điểm của d và d1, vì d vuông góc với d1 nên Tọa độ của B (- 2+2t; -t;3-t) => + Do
⇔ -4 + t – 3+ t= 0 ⇔ 2t- 7= 0 ⇔ t=7/2 + Ta thấy vecto Chọn C. Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm O và M(2;1; 4). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(-3; -2; -1), cắt và vuông góc với d là: A. B. C. D. Lời giải: + Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. Gọi giao điểm của d và Δ là B. + Đường thẳng d đi qua hai điểm O và M (2;1;4) nên đường thẳng này nhận vecto => Phương trình đường thẳng d: + Do B thuộc d nên tọa độ B( 2t; t; 4t) => + Đường thẳng d có vectơ chỉ phương + Do ⇔ 4t+ 6 + t+ 2+ 16t + 4= 0 ⇔ 21t + 12= 0 nên t= (-4)/7 + Đường thẳng Δ đi qua điểm A( - 3; -2; -1) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình của Δ là: Chọn D. Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): x- y + z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường thẳng A. B. C. D. Lời giải: Gọi : Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được: ⇒1+2t-t+2-2t-1=0⇔-t+2=0 ⇔ t=2⇒M( 5;2; -2)∈Δ. Ta có Vecto pháp tuyến của (P) là : Vecto chỉ phương của đường thẳng d là Khi đó ⇒ Chọn A. |
