Đề bài
Phương trình \[2\tan x – 2 \cot x – 3 = 0\] có số nghiệm thuộc khoảng \[[{{ - \pi } \over 2},\pi ]\] là:
A. \[1\] B. \[2\] C. \[3\] D. \[4\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
B1: Đưa về phương trình bậc hai của tanx bằng công thức \[\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\].
B2: Giải PT lượng giác , lấy các nghiệm thuộc khoảng \[[{{ - \pi } \over 2},\pi ]\] và KL.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{& 2\tan x - 2\cot x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\tan x - {2 \over {\tan x}} - 3 = 0 \cr & \Rightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{\tan x = 2 \hfill \cr
\tan x = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vẽ đường tròn lượng giác với giá trị \[tanx = 2\], \[\tan x = {{ - 1} \over 2}\] ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng \[[{{ - \pi } \over 2},\pi ]\].
Cách khác:
\[\left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = \arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right] + k\pi
\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} + ] - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan 2 < k\pi < \pi - \arctan 2\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,85 < k < 0,65\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow x = \arctan 2\\ + ] - \frac{\pi }{2} < \arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right] + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right] < k\pi < \pi - \arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right]\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right]}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right]}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,35 < k < 1,15\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right];\arctan \left[ { - \frac{1}{2}} \right] + \pi } \right\}
\end{array}\]
Vậy có ba nghiệm cần tìm.
Chọn đáp án C.
Loigiaihay.com