Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Tính [bằng định nghĩa] đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
LG a
\[y = x^2+ x\] tại \[x_0= 1\]
Phương pháp giải:
Bước 1: Giả sử\[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x_0\], tính\[\Delta y = f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]\].
Bước 2: Lập tỉ số\[\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\].
Bước 3: Tìm\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\].
Kết luận\[f'\left[ {{x_0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\].
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[x\] là số gia của số đối tại \[x_0= 1\]. Ta có:
\[\begin{array}{l}
\Delta y = f\left[ {1 + \Delta x} \right] - f\left[ 1 \right]\\
\,\,\,\,\,\, = {\left[ {1 + \Delta x} \right]^2} + \left[ {1 + \Delta x} \right] - {1^2} - 1\\
\,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left[ {\Delta x} \right]^2} + 1 + \Delta x - 2\\
\,\,\,\,\, = \Delta x\left[ {\Delta x + 3} \right]\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\Delta x + 3} \right] = 3
\end{array}\]
Vậy \[f'[1] = 3\].
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
f\left[ x \right] = {x^2} + x \Rightarrow f\left[ 1 \right] = 2\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ 1 \right]}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 2} \right]}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {x + 2} \right]\\
= 1 + 2\\
= 3\\
\Rightarrow f'\left[ 1 \right] = 3
\end{array}\]
LG b
\[y = \dfrac{1}{x}\] tại \[x_0= 2\]
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[x\] là số gia của số đối tại \[x_0= 2\]. Ta có:
\[\begin{array}{l}
\Delta y = f\left[ {2 + \Delta x} \right] - f\left[ 2 \right]\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left[ {2 + \Delta x} \right]}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left[ {2 + \Delta x} \right]}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left[ {2 + \Delta x} \right]}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\dfrac{{ - 1}}{{2\left[ {2 + \Delta x} \right]}}} \right] = \dfrac{{ - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\]
Vậy \[f'[2] = - \dfrac{1}{4}\].
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
f\left[ x \right] = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left[ 2 \right] = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ 2 \right]}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{{2 - x}}{{2x}}}}{{ - \left[ {2 - x} \right]}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ { - \dfrac{1}{{2x}}} \right]\\
= - \dfrac{1}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow f'\left[ 2 \right] = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\]
LG c
\[y = \dfrac{x+1}{x-1}\]tại \[x_0= 0\]
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[x\] là số gia của số đối tại \[x_0= 0\].Ta có:
\[\begin{array}{l}
\Delta y = f\left[ {\Delta x} \right] - f\left[ 0 \right]\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \dfrac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\dfrac{2}{{\Delta x - 1}}} \right] = \dfrac{2}{{ - 1}} = - 2
\end{array}\]
Vậy \[f'[0] = -2\].
Cách khác:
\[\begin{array}{l}
f\left[ x \right] = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left[ 0 \right] = - 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ 0 \right]}}{{x - 0}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} + 1}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1 + x - 1}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{x - 1}}\\
= \dfrac{2}{{0 - 1}} = - 2\\
\Rightarrow f'\left[ 0 \right] = - 2
\end{array}\]