Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất
|
• Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+ 2y + z - 3= 0và đường thẳng d:. Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cosα = √3/6A. y- z+ 3= 0B. 5x- 3y + 8z- 10= 0C. 2x- 3y+ 5z- 10= 0D. Đáp án khácHướng dẫn giải:Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0 (A 2 + B2 + C2 >0) nhận vectơ n→( A;B; C) làm vecto pháp tuyến.Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u→(1; -1; -1)Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1; 2; 1)Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→.nQ→ = 0⇔ A- B – C= 0 ⇔ C = A – BLại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cosα = √3/6 ⇔ A2+ B2 - AB = 4A2+ 4AB + B2⇔ 3A2 + 5AB = 0+ Với A = 0, chọn B = 1 thì C= - 1Mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và nhận vecto ( 0; 1; -1) làm vecto pháp tuyến=> Phương trình mp (P): 0( x+ 1) + 1( y - 2) – 1( z+ 3) = 0 hay y - z – 5= 0+ Với 3A = - 5B; chọn B = - 3 => A= 5; C= 8Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có VTPT nP→(5; -3; 8)là:5( x+ 1) – 3( y- 2) + 8( z+ 3) = 0 hay 5x – 3y + 8z + 35= 0Chọn D. Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình(d):và mặt phẳng (Q): x + 2y + z – 5= 0 . Viết phương trình mặtphẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 30o.A. x+ y- 2= 0 hoặc x+ z – 2= 0B. x+ y - 2= 0 hoặc y+ z - 2= 0C. y+ z - 2= 0 hoặc x – z - 2= 0D. Đáp án khácHướng dẫn giải:Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0 nhậnvecto nP→(A; B; C) làm vecto pháp tuyến.Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u→(1; -1; 1)Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1 ; 2;1)Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→.nP→ = 0→A- B+ C = 0 ⇔ C = B - ALại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 30o nên ta có: ⇔ A2 + B2 – AB= B2→A2 – AB = 0+ Với A = 0, chọn B = 1; C = 1.Mặt phẳng ( P) đi qua M(0; 2; 0) và nhận vecto (0;1; 1) làm vecto pháp tuyến:0(x - 0) + 1( y - 2) +1.( z - 0) = 0 hay y+ z - 2 = 0+ Với A = B , chọn A= B = 1 C = 0Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có VTPT nP→(1; 1;0) là:1( x- 0) + 1( y-2) + 0( z- 0) = 0 hay x+ y- 2= 0Chọn BVí dụ 3: Cho mặt phẳng (α): 3x- 2y + 2z – 5= 0. Điểm A( 1; -2; 2). Có bao nhiêumặt phẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (α) một góc 45oA. Vơ số.B. 1.Hướng dẫn giải:C. 2.D. 4. Gọi nβ→(a; b;c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) cần lập.=> 2( 3a – 2b + 2c)2 = 17 (a2 + b2+ c2)⇔ a2 - 9b2 – 9c2 - 12ab – 8bc + 12ac = 0Phương trình trên có vơ số nghiệm.Suy ra có vô số vectơ nβ→(a; b; c) là véc tơ pháp tuyến của (β)Suy ra có vơ số mặt phẳng (β) thỏa mãn điều kiện bài tốnChọn A.Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 0;0) và N(0; 0;-1).Mặt phẳng (P) qua điểm M; N và tạo với mặt phẳng (Q): x- y- 4= 0 một gócbằng 45o. Phương trình mặt phẳng (P) làHướng dẫn giải:+ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là nQ→(1; -1; 0)+ Mặt phẳng (P) đi qua M(1; 0; 0) và vectơ pháp tuyến n→(a; b; c) với a2+b2 +c2 > 0 có phương trình là:a( x - 1) + b(y - 0) + c( z - 0) = 0 hay ax + by+ cz – a= 0 + Mặt phẳng (P) đi qua điểm N( 0; 0; -1) nên :a.0+ b.0+ c.(-1) - a= 0 hay –c - a= 0 ⇔ c = -a+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) hợp nhau góc 45o nên :+ Với a= 0 => c= 0; chọn b= 1Mặt phẳng (P)đi qua M( 1; 0; 0 ) vecto pháp tuyến (0; 1; 0) nên phương trình (P):y= 0+ Với a= -2b chọn b= -1 suy ra a= 2mặt phẳng đi qua M( 1; 0; 0) và vecto pháp tuyến ( 2; -1;-2)=> Phương trình ( P): 2( x - 1) – 1( y - 0) – 2( z - 0) = 0 hay 2x – y - 2z - 2= 0Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là : z = 0 và 2x- y- 2z – 2= 0Chọn A.Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz; cho điểm M( 0; -1; 2) ; N( -1;1; 3). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M; N và tạo với mặt phẳng (Q): 2x – y – 2z –2= 0 góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A( 1;2; 3) cách mp (P) một khoảng là Hướng dẫn giải:+ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là : nQ→(2; -1; -2)+ Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là : nP→(a; b;c) ( a2+ b2+ c2 > 0)+ Mặt phẳng (P) có VTPT n→ vng góc với MN→(-1; 2; 1) nên-1.a+ 2b+ 1.c= 0 ⇔ a= 2b+ c=> Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là : nP→(2b+c; b;c)+ Gọi α là góc tạo bởi (P) và ( Q) , α nhỏ nhất khi cosα lớn nhất.Ta có+ Nếu b=0 thì cosα= 0Khi đó, cos α lớn nhất khi và chỉ khi 2(c/b + 1)2 +3 nhỏ nhất => c/b = -1 chọn b = 1=> c= -1 và a= 2b+ c= 1Vậy mặt phẳng (P) đi qua M( 0; -1; 2) vecto pháp tuyến ( 1; 1; -1) có phương trìnhlà1( x- 0) +1(y+ 1) - 1(z- 2) = 0 hay x+ y- z + 3= 0.Do đóChọn A.Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyếnPhương pháp giảiPhương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x o ;yo ;zo ) và có Vecto pháptuyến n→(A;B;C) là:A(x -xo ) +B(y -yo ) +C(z -zo )=0Ví dụ minh họaBài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1;0; -2) và có vecto pháp tuyến n→ (2; -1;1)Hướng dẫn:Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1; 0; -2) và có vecto pháp tuyến n→ (2; -1;1) cóphương trình là:1(x -1) -1(y -0) +1(z +2) =0⇔ x -y +z +1 =0 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1; -2; 1) và có vecto pháptuyến n→ (0; 2;-1)Hướng dẫn:Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (1; -2; 1) và có vecto pháp tuyến n→ (0; 2;-1) cóphương trình là:0 . (x -1) +2(y +2) -1(z -1) =0⇔ 2y -z +5 =0Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto pháptuyến n→ (-1;2;-1)Hướng dẫn:Mặt phẳng đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến n→ (-1;2;-1) cóphương trình là:-1(x -0) +2(y -0) -1(z -0) =0⇔ -x +2y -z =0Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (-2; 5; -4) và có vecto pháptuyến n→ (0;2;-1)Hướng dẫn:Mặt phẳng đi qua điểm A (-2; 5; -4) và có vecto pháp tuyến n→ (0;2;-1) cóphương trình là:0 . (x +2) +2(y -5) -1 . (z +4) =0⇔ 2y -z -14 =0Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳngPhương pháp giảiCách 1:1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→ (A;B;C)2. Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α)là n→ (A;B;C).3. Phương trình mặt phẳng (α):A(x -xo ) +B(y -yo ) +C(z -zo) =0Cách 2:1. Mặt phẳng (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:Ax +By +Cz +D'=0 (*) với D'≠D2. Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo ;yo ;zo ) nên thay tọa độ điểmM (xo ;yo ;zo ) vào (*) tìm đươc D’Ví dụ minh họaBài 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 2) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 2 = 0.Hướng dẫn:Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng(Q) là n→ (2; -4;0)Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 2) và có vecto pháp tuyến n→ (2; -4;0) nên cóphương trình là:2(x -0) -4(y -1) +0 . (z -2) =0 ⇔2x -4y +4 =0⇔x -2y +2 =0Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song vớimặt phẳng (Oxy)Hướng dẫn:Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z=0Do mặt phẳng (P) song song song với mặt phẳng (Oxy) nên mặt phẳng (P) códạng: z +c =0 (z≠0)Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; -3) nên ta có: -3 +c = 0 ⇔ c =3Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: z +3 =0Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; -1; 3) và song song vớimặt phẳng (Q): 2x+3y-z+5=0Hướng dẫn:Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháptuyến n→ (2; 3;-1)Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ (2; 3;-1) và đi qua điểm M(0; -1; 3) là:2(x -0) +3(y +1) -1(z -3)=0⇔ 2x +3y -z =0Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4),D(4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng(ABC)Hướng dẫn: Show
Chú ý:
Vậy khi hàm xét max, min là hàm sin thì góc lớn ứng với hàm max,, góc nhỏ ứng với hàm nhỏ. Còn khi hàm xét max, min là hàm cosin thì ngược lại, đề bài yêu cầu tìm góc lớn thì hàm phải đạt min, góc nhỏ thì hàm đạt max. Phương pháp hình họcBài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ sao cho mặt phẳng $\left( Q \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng d cho trước một góc lớn nhất)Phương pháp giải: - TH1: ${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}$  Gọi $A=\Delta \cap \left( P \right);d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$với $\left( Q \right)$là mặt phẳng $\left( IAK \right)$ trong hình vẽ. Lấy $I\in \Delta \Rightarrow A;I$cố định, dựng $IH\bot d\Rightarrow \left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)=\widehat{IKH}=\varphi .$ Do $IA\ge IK\Rightarrow \sin \varphi =\frac{IH}{IK}\ge \frac{IH}{IA}\Rightarrow {{\varphi }_{\min }}$khi $K\equiv A$tức là $\Delta \bot d\Leftrightarrow \Delta \bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$ Mặt khác $\left\{ \begin{array} {} IA\bot d \\ {} d\subset \left( P \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta \bot d \\ {} d\subset \left( P \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$ Suy ra $\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$nhỏ nhất $\Leftrightarrow \Delta \bot $giao tuyến d của $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$$\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]$ -TH2: ${{\left( \widehat{\left( Q \right);d} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow $$\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]$
Lời giải chi tiết: a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right)$và $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;2;2 \right)$. Đường thẳng d đi qua $M\left( 1;-2;0 \right).$ ${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right] \right]=\left( -3;-6;-15 \right)=-3\left( 1;2;5 \right)$ Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;5 \right)$có phương trình là: $\left( P \right):x+2y+5z+3=0$. b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( 2;-1;2 \right).$ Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);{d}'} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right] \right]=\left( -14;2;-10 \right)=-2\left( 7;-1;5 \right)$ Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 7;-1;5 \right)$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):7x-y+5z-9=0$.
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;-1;-2 \right);\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( -1;2;1 \right)$ và đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 0;-1;2 \right).$ $\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]$ Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=-3\left( 1;0;1 \right)$suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=-2\left( 1;1;-1 \right)$ Khi đó $\left( Q \right)$đi qua $A\left( 0;-1;2 \right)$và $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)$ $\left( Q \right):x+y-z+3=0\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\sqrt{3}.$ Chọn A. Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):2x-2y-z+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2}$ . Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $\Delta $và tạo với $\left( P \right)$ một góc nhỏ nhất. Tính cosin góc $\varphi $giữa 2 mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$khi đó:
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-1;-2 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 2;-2;-1 \right)$ và đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( 1;0;0 \right).$ Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=\left( -6;6;-6 \right)=-6\left( 1;-1;1 \right).$ Suy ra $cos\varphi =\frac{\left| 2.1+2-1 \right|}{\sqrt{4+4+1}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Chọn B. Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+2y-z+3=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}$ . Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ O đến $\left( Q \right)$bằng:
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 1;2;-1 \right)$ và đường thẳng $\Delta $ đi qua $M\left( -1;-1;3 \right).$ ${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=\left( 0;-9;9 \right)=-9\left( 0;1;-1 \right).$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$cần tìm đi qua điểm $M\left( -1;-1;3 \right).$và có véc tơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 0;1;-1 \right)$ Suy ra $\left( P \right):y-z+4=0\Rightarrow d\left( O;Q \right)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ Chọn D. Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{z+2}{1}=\frac{z}{2}$ . Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm nào trong các điểm sau:
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;2 \right);\overrightarrow{{{u}_{Oy}}}\left( 0;1;0 \right)$ và đường thẳng d đi qua $M\left( 1;-2;0 \right).$ Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);Oy} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{Oy}}} \right] \right]=\left( -1;-5;2 \right)=-1\left( 1;5;-2 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;5;-2 \right)$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+5y-2z+9=0$. Do đó $\left( P \right)$đi qua điểm $A\left( 6;-3;0 \right).$ Chọn A. Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right);B\left( -1;1;2 \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ là phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B sao cho $\left( Q \right)$tạo với mặt phẳng$\left( Oxy \right)$ một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ gốc O đến mặt phẳng $\left( Q \right)$bằng:
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;3 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( Oxy \right)}}}\left( 0;0;1 \right).$ Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);Oxy} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( Oxy \right)}}} \right] \right]=\left( -6;-3;-5 \right)=-\left( 6;3;5 \right).$ Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$là: $6x+3y+5z-7=0\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\frac{7}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\frac{\sqrt{70}}{10}.$Chọn B. Phương pháp giải: - TH1: ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}$ Qua A dựng đường thẳng $\Delta \parallel d$ , trên $\Delta $lấy điểm I, hạ $IH\bot \left( P \right)\Rightarrow A,I,H$ cố định, điểm K thay đổi $\left( \widehat{d;{d}'} \right)=\left( \widehat{\Delta ;{d}'} \right)=\widehat{IAK}=\alpha $ Mà $sin\alpha =\frac{IK}{IA}\ge \frac{IH}{IA}$ (Do $IK\ge IH$) suy ra ${{\alpha }_{\operatorname{mi}}}_{n}\Leftrightarrow H\equiv K$hay ${d}'$qua A và H. Khi đó ${d}'$là hình chiếu vuông góc của $\Delta $ trên $\left( P \right)$. Ta có: ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{AIH}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right].$ - TH2: ${{\left( \widehat{d;\left( Q \right)} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right] \right].$
Lời giải chi tiết: Gọi $\left( \alpha \right)$là mặt phẳng chứa A và song song với $\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}}=\left( 2;-1;-1 \right).$ Khi đó d nằm trong $\left( \alpha \right)$ sao cho góc giữa d và $\Delta $ nhỏ nhất. Ta có: ${{\left( \widehat{d;\Delta } \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}} \right] \right]=-2\left( 1;-5;7 \right)$ Phương trình đường thẳng d là: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-2}{7}.$
Lời giải chi tiết: Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa A và d. Đường thẳng d đi qua điểm $A\left( 1;2;-2 \right)$và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-1 \right).$ Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=-\left( 1;0;2 \right)$. Đường thẳng $\Delta \subset \left( P \right)$. Ta có: ${{\left( \widehat{\Delta ;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right] \right]=\left( 8;-10;-4 \right)=2\left( 4;-5;-2 \right).$ Phương trình đường thẳng là: $d:\frac{x+1}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-2}.$
Lời giải chi tiết: Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa A và $\Delta $ . Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M\left( 1;-1;2 \right)$và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3;2;-2 \right),\overrightarrow{AM}\left( 0;-1;4 \right)$ Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=-\left( -6;12;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( -2;4;1 \right)$. Để ${{\left( \widehat{d;\left( P \right)} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=\left( -30;-3;-48 \right)=-3\left( 10;1;16 \right).$ Khi đó phương trình đường thẳng $d:\frac{x-1}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{16}.$
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;1;-1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-1;2 \right).$ Để ${{\left( \widehat{d;\Delta } \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]=\left( -10;7;-13 \right)=-2\left( \frac{5}{2};-\frac{7}{2};\frac{13}{2} \right).$ Do đó: $b=-\frac{7}{2};c=\frac{13}{2}\Rightarrow b+c=3.$Chọn D.
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;2 \right).$ Để ${{\left( \widehat{d;\Delta } \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right]=\left( -2;-7;-5 \right)=-\left( 2;7;5 \right).$ Phương trình đường thẳng d là: $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{7}=\frac{z-1}{5}.$ Khi đó $cos\alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right) \right|=\frac{\left| 2+14+10 \right|}{3.\sqrt{{{2}^{2}}+{{7}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\frac{\sqrt{78}}{9}.\Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{\sqrt{3}}{9}.$Chọn B.
Lời giải chi tiết: Gọi $Q\equiv \left( Oyz \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;0;0 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-2;2 \right).$ Ta có $\varphi ={{\left( \widehat{d;\left( Q \right)} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right] \right]=\left( -8;-2;2 \right)=-2\left( 4;1;-1 \right).$ Suy ra $\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right) \right|=\frac{4}{\sqrt{18}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Chọn B.
Lời giải chi tiết: Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;-1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-1;1 \right).$ Do đó ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]=\left( 2;2;-2 \right)=2\left( 1;1;-1 \right)\Rightarrow {d}':\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{-1}.$ Vậy ${d}'$ đi qua hai điểm $\left( 1;2;1 \right).$ Chọn D.
Lời giải: Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;2;2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 4;3;-1 \right)$ Ta có: ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]=-\left( 2;-5;-7 \right)\Rightarrow {d}':\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z-1}{-7}.$ Vậy ${d}'$ cắt mặt phẳng $x=0$ tại điểm $E\left( 0;6;8 \right)\Rightarrow OE=10.$ Chọn C... |
