- LG a
- LG b
Cho đường tròn [O; R]và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.
LG a
Chứng minh rằng \[A{B^2} + C{D^2}\]không đổi.
Lời giải chi tiết:
Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Theo định lí quan hệ giữa đường kính và dây ta có:
OI AB; OJ CD;
Do đó tứ giác OIPJ là hình chữ nhật.
Ta có:
AB2+ CD2= [2AI]2+ [2DJ]2
= 4 AI2+ 4DJ2= 4. [AO2 OI2] + 4[DO2 OJ2]
=4. [R2 OI2] + 4[R2 OJ2]
= 4[ 2R2 OI2 OJ2]
= 4.[2R2 [OI2+ OJ2] ]
= 4. [ 2R2 OP2] [ vì OI2+ OJ2= OI2+ IP2= OP2]
= 8R2 4. OP2
[không đổi vì R không đổi, O và P cố định nên OP không đổi]
LG b
Chứng minh rằng \[P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\]không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Lời giải chi tiết:
Phương tích của điểm P với đường tròn:
\[\begin{array}{l}{P_{P/\left[ O \right]}} = \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} = O{P^2} - {R^2}\\{P_{P/\left[ O \right]}} = \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} = O{P^2} - {R^2}\end{array}\]
Ta có
\[\eqalign{
& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {[\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} ]^2} + {[\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} ]^2} \cr&+ 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr
&= {\overrightarrow {BA} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\left[ {\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} } \right] \cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2\left[ {O{P^2} - {R^2} + O{P^2} - {R^2}} \right]\cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2[2P{O^2} - 2{R^2}] \cr
& =8{R^2} - 4O{P^2}+ 4P{O^2} - 4{R^2} \cr
& = 4{R^2} \cr} \]
Vậy \[P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\] không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.