Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Tổng \[[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ] + [\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ] + [\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ]\]có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau : \[{90^0}\,;\,{180^0}\,;\,{270^{0\,}}\,;\,{360^0}\]?
Lời giải chi tiết
Ta có
\[[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ] = {180^0} - \widehat B\] vì góc \[[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ]\] và \[\widehat B\] là hai góc kề bù.
\[[\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ] = {180^0} - \widehat C\]vì góc \[[\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ]\] và \[\widehat C\] là hai góc kề bù.
\[[\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ] = {180^0} - \widehat A\]vì góc \[[\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ]\] và \[\widehat A\] là hai góc kề bù.
Do đó \[[\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} ] + [\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CA} ] + [\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {AB} ] \]
\[\begin{array}{l}
= {180^0} - \widehat B + {180^0} - \widehat C + {180^0} - \widehat A\\
= {540^0} - \left[ {\widehat B + \widehat C + \widehat A} \right]\\
= {540^0} - {180^0}\\
= {360^0}
\end{array}\]