\[\eqalign{ & I{J^2} = C{I^2} - C{J^2} = {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2} \cr & \Rightarrow IJ = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow {S_{ICD}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 2 } \over 2}.a = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 4} \cr} \]
Đề bài
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là tọng tâm tam giác ABC. Cắt tứ diện bởi mp[GCD] thì diện tích của thiết diện là :
A. \[{{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\]
B. \[{{{a^2}\sqrt 2 } \over 4}\]
C. \[{{{a^2}\sqrt 2 } \over 6}\]
D. \[{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\]
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm của AB. Thiết diện cần tìm là ΔCID
Gọi J là trung điểm CD
ΔCID cân nên IJ CD \[{S_{ICD}} = {1 \over 2}IJ.CD\]
Ta có:
\[\eqalign{ & I{J^2} = C{I^2} - C{J^2} = {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2} \cr & \Rightarrow IJ = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow {S_{ICD}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 2 } \over 2}.a = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 4} \cr} \]
Chọn [B]