Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.
a. Tính độ dài AD.
b. Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng [BCD], góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng [ABC].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh \[\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\].
a] Tính độ dài bằng cách sử dụng định lý Py-ta-go.
b] Xác định điểm cách đều bằng tính chất tam giác vuông.
c] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng [khác \[{90^0}\]] là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: CD BC và CD AB nên CD [ABC]
mà AC [ABC] do đó CD AC.
Trong tam giác vuông ABC ta có:
\[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2}\]
Trong tam giác vuông ACD ta có:
\[A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\]
Suy ra: \[AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \]
b. Ta có: \[AB \bot BC\] và \[AB \bot CD\] suy ra AB [BCD] do đó AB BD.
Gọi I là trung điểm AD ta có:
+] Tam giác ACD vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: \[IA = IC = ID = \frac{{AD}}{2}\left[ 1 \right]\]
+] Tam giác ABD vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: \[IA = IB = ID = \frac{{AD}}{2}\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra: IA = IB = IC = ID
Vây I cách đều A, B, C, D.
c. Ta có: \[AB \bot \left[ {BCD} \right]\] \[ \Rightarrow BD\] là hình chiếu của\[AD\]trên \[\left[ {BCD} \right]\].
Khi đó góc \[\widehat {\left[ {AD,\left[ {BCD} \right]} \right]} = \widehat {\left[ {AD,BD} \right]} = \widehat {ADB}\].
Xét tam giác \[ABD\] vuông tại \[B\] thì \[\sin \widehat {ADB} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\] \[ \Rightarrow \widehat {\left[ {AD,\left[ {BCD} \right]} \right]} = \arcsin \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
Lại có \[DC \bot \left[ {ABC} \right]\] \[ \Rightarrow AC\] là hình chiếu của \[AD\] trên \[\left[ {ABC} \right]\].
Khi đó góc \[\widehat {\left[ {AD,\left[ {ABC} \right]} \right]} = \widehat {\left[ {AD,AC} \right]} = \widehat {DAC}\]
Xét tam giác \[ACD\] vuông tại \[C\] thì \[\sin \widehat {DAC} = \dfrac{{CD}}{{AD}} = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\] \[ \Rightarrow \widehat {\left[ {AD,\left[ {ABC} \right]} \right]} = \arcsin \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]