Đề bài
Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mp[P], cạnh AB và AC lần lượt tạo với mp[P] các góc β và γ. Gọi α là góc tạo bởi mp[P] và mp[ABC]. Chứng minh rằng \[{\sin ^2}\alpha = {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Kẻ AH mp[P] và AI BC.
Khi đó HB là hình chiếu của AB trên [P] nên góc giữa AB và [P] bằng góc giữa AB và HB hay \[\beta = \widehat {ABH}\]
HC là hình chiếu của AC trên [P] nên góc giữa AC và [P] bằng góc giữa AC và HC hay \[\gamma = \widehat {ACH}\]
Lại có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
AI \bot BC\\
AH \bot BC\left[ {AH \bot \left[ P \right]} \right]
\end{array} \right. \] \[\Rightarrow BC \bot \left[ {AIH} \right] \Rightarrow BC \bot HI\]
Mà\[BC \bot AI\] và\[\left[ {ABC} \right] \cap \left[ P \right] = BC\] nên góc giữa [ABC] và [P] bằng góc giữa AI và HI hay \[\alpha = \widehat {AIH}.\] [do \[\widehat {AIH}