- LG a
- LG b
- LG c
Cho elip [E] : \[\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left[ {0 < b < a} \right]\]. Tính tỉ số \[\dfrac{c}{a}\] trong các trường hợp sau:
LG a
Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ;
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\] và mối quan hệ giữa \[a,b\] ở đề bài để tìm mối quan hệ giữa \[c\] và \[a\].
Giải chi tiết:
Ta có: \[a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\]\[ \Rightarrow {a^2} = 9\left[ {{a^2} - {c^2}} \right]\]\[ \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\] \[ \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\].
Vậy \[\dfrac{c}{a} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\].
LG b
Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;
Phương pháp giải:
Sử dụng chú ý \[\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = \dfrac{{{F_1}{F_2}}}{2}\] và công thức \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\].
Giải chi tiết:
\[\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = \dfrac{{{F_1}{F_2}}}{2}\] \[ \Rightarrow b = c\] \[ \Rightarrow {b^2} = {c^2}\]
\[ \Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}\] \[ \Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\] \[ \Rightarrow a = c\sqrt 2 \].
Vậy \[\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\].
LG c
Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
Giải chi tiết:
\[{A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\] \[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\]\[ \Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}\]
\[ \Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\]\[ \Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\].
Vậy \[\dfrac{c}{a} = \sqrt {\dfrac{2}{5}} \].