- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
\[y = 2x\left[ {1 - {x^{ - 3}}} \right];\]
Lời giải chi tiết:
\[\int {2x\left[ {1 - {x^{ - 3}}} \right]} dx = \int {\left[ {2x - 2{x^{ - 2}}} \right]dx }\] \[= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\] \[= {x^2} + {2 \over x} + C \]
LG b
\[y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\]
Lời giải chi tiết:
\[\int {\left[ {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right]dx = } \int {\left[ {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right]} dx\] \[= \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\]\[ = 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\]
LG c
\[y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left[ {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right];\]
Phương pháp giải:
Đổi biến \[u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\] \[\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du\]
\[\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right]dx} \]\[ = \frac{2}{3}\int {\sin udu} \] \[ = - \frac{2}{3}\cos u + C\] \[ = - \frac{2}{3}\cos \left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right] + C\]
Cách 2: Đưa vào vi phân
\[\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right]dx} \]\[ = \int {\frac{2}{3}\sin \left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right]\left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right]'dx} \] \[ = \frac{2}{3}\int {\sin \left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right]d\left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right]} \] \[ = \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right]} \right] + C\] \[ = - \frac{2}{3}\cos \left[ {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right] + C\]
LG d
\[y = {{\sin \left[ {2x + 1} \right]} \over {{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]}};\]
Phương pháp giải:
Đổi biến \[u=\cos [2x+1]\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[u = \cos \left[ {2x + 1} \right] \] \[\Rightarrow du = - 2\sin \left[ {2x + 1} \right]dx \] \[\Rightarrow \sin \left[ {2x + 1} \right]dx = - {1 \over 2}du\]
Do đó
\[\int {\dfrac{{\sin \left[ {2x + 1} \right]}}{{{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]}}dx} \]\[ = \int {\left[ { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right]du} = \dfrac{1}{2}\int {\left[ { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right]du} \] \[ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\] \[ = \dfrac{1}{{2\cos \left[ {2x + 1} \right]}} + C\]
Cách khác: Đưa vào vi phân
\[\int {\dfrac{{\sin \left[ {2x + 1} \right]}}{{{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]}}dx} \]\[ = \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {2x + 1} \right]} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]}}} \] \[ = - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left[ {{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]} \right]}}{{{{\cos }^2}\left[ {2x + 1} \right]}}} \] \[ = - \dfrac{1}{2}.\left[ { - \dfrac{1}{{\cos \left[ {2x + 1} \right]}}} \right] + C\] \[ = \dfrac{1}{{2\cos \left[ {2x + 1} \right]}} + C\]