- LG a
- LG b
Cho hai đường tròn
\[[{C_1}]: {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ; \]
\[ [{C_1}]: {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\].
LG a
Xét vị trí tương đối của \[[C_1]\] và \[[C_2]\].
Lời giải chi tiết:
\[[C_1]\] có tâm \[I_1[2 ; 4]\], bán kính \[{R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11} = 3\].
\[[C_2]\] có tâm \[I_2[1 ; 1]\], bán kính \[{R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\].
\[1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}\]
\[= \sqrt {{{[1 - 2]}^2} + {{[1 - 4]}^2}}\]
\[ = \sqrt {10} < {R_1} + {R_2} = 5\].
Suy ra \[[C_1]\] và \[[C_2]\] cắt nhau.
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến chung của \[[C_1]\] và \[[C_2].\]
Lời giải chi tiết:
[h.107].
Theo câu a], \[[C_1]\] và \[[C_2]\] cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \[\Delta \] có phương trình : \[\alpha x + \beta y + \gamma = 0 [{\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0]\].
\[\Delta \] tiếp xúc với \[[C_1]\] và \[[C_2]\] khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}d[{I_1} ; \Delta ] = {R_1}\\d[{I_2} ; \Delta ] = {R_2}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha + 4\beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3 [1]\\ \dfrac{{|\alpha + \beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 [2]\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2|2\alpha + 4\beta + \gamma | = 3|\alpha + \beta + \gamma |\\ \Leftrightarrow 4\alpha + 8\beta + 2\gamma = \pm [3\alpha + 3\beta + 3\gamma ]\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\gamma = \alpha + 5\beta \\\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\]
Thay \[\gamma = \alpha + 5\beta \] vào [2] ta có:
\[ \dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\]
\[ \Leftrightarrow {[\alpha + 3\beta ]^2} = {a^2} + {\beta ^2} \]
\[ \Leftrightarrow 2\beta [4\beta + 3\alpha ] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \beta = 0\] hoặc \[4\beta = - 3\alpha \].
Với \[\beta = 0\][ do đó \[\alpha \ne 0\]], suy ra \[\gamma = \alpha \]. Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất
\[{\Delta _1}: x + 1 = 0\].
Với \[4\beta = - 3\alpha \], chọn \[\alpha = 4, \beta = - 3\], ta được \[\gamma = - 11\]. Ta có tiếp tuyến chung thứ hai
\[{\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0\].
Thay \[\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}\] vào [2], ta có
\[ \dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \]
\[ \Leftrightarrow {[\alpha + 3\beta ]^2} = 25[{\alpha ^2} + {\beta ^2}]\]
\[ \Leftrightarrow 12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta + 8{\beta ^2} = 0\], phương trìn vô nghiệm.
Vậy \[[C_1]\] và \[[C_2]\] có hai tiếp tuyến chung là
\[\begin{array}{l}{\Delta _1}: x + 1 = 0;\\{\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0.\end{array}\]