Bài tập tìm cơ sở và số chiều của Kerf và Imf

Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tínhDạng 1 Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tínhu, v  V : f (u  v)  f (u)  f (v)Phương pháp f : V  V1 là ánh xạ tuyến tính  k  R,u  V : f (ku)  kf (u)Ví dụ 1 Cho f :32, f (x, y, z)  (x  y, z  x) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tínhGiải Xét u  (x, y,z), v  (x1 , y1 ,z1 ) 3;k  . Ta có u  v  (x  x1 , y  y1 ,z  z1 ) f (u  v)   (x  x1 )  (y  y1 ),(z  z1 )  (x  x1 )    (x  y)  (x1  y1 ),(z  x)  (z1  x1 )  (x  y,z  x)  (x1  y1 ,z1  x1 )  f (u)  f (v) (1)ku  (kx,ky,kz)  f (ku)  (kx  ky,kz  kx)  k(x  y,z  x)  kf (u) (2)Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Ví dụ 2 Cho f : P2 2,f (ax 2  bx  c)  (a  c,b) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.Giải Xét p  ax 2  bx  c,q  a1x 2  b1x  c1  P2 ,k . Ta có p  q  (a  a1 )x 2  (b  b1 )x  (c  c1 ) Suy raf (p  q)  f ((a  a1 )x 2  (b  b1 )x  (c  c1 ))  ((a  a1 )  (c  c1 ),b  b1 )  ((a  c)  (a1  c1 ),b  b1 ) (a  c,b)  (a1  c1 ,b1 )  f (p)  f (q) (1)kp  kax 2  kbx  kc suy ra f (kp)  f (kax 2  kbx  kc)  (ka  kc,kb)  k(a  c,b)  kf (p) (2)Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Ví dụ 3 Cho f : M 2 3a b,f     (a  b  c,d, 0) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. c d a1 b1 a bGiải Xét A    M 2 ,k  ;B  c d c1 d1  a  a1. Ta có A  B   c  c1b  b1  . Suy rad  d1   a  a1 b  b1  f (A  B)  f     ((a  a1 )  (b  b1 )  (c  c1 ),(d  d1 ), 0)  (a  b  c,d, 0)  (a 1  b1  c1 ,d1 , 0)  c  c1 d  d1   f (A)  f (B) (1).  ka kb   ka kb kA    f (kA)  f     (ka  kb  kc, kd, 0)  k(a  b  c,d, 0)  kf (A) (2) kc kd   kc kd  Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Dạng 2 Tìm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f : V  V1Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u  Kerf  f (u)   . Từ đó dẫn đến mô tả cho KerfTìm Imf : Xét một cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của không gian nguồn V. Khi đó Imf  L  f (u1 ),f (u 2 ),...,f (u n ) Ví dụ 1 Cho f :32,f (x, y,z)  (x  z, y  z) . Tìm Imf và Kerf.x  zGiải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y, z)  Kerf  f (u)    (x  z, y  z)  (0, 0)   u  (z, z,z), z  y  zVậy Kerf  u  (z, z,z) | z Tìm Imf: Xét cơ sở u1  (1, 0, 0);u 2  (0,1, 0);u 3  (0, 0,1) của3. Ta có f (u1 )  f (1, 0, 0)  (1, 0)  v1;f (u 2 )  f (0,1, 0)  (0,1)  v2 ;f (u 3 )  f (0, 0,1)  ( 1,1)  v3 . Vậy Imf  L v 1,v 2,v 3 Nhận xét: Do Imf là không gian con củaVí dụ 2 Cho f :232và dễ thấy dimImf  2 nên Imf 2, f (x, y)  (x  y, y, x) . Tìm Kerf và Imf.Giải Tìm Kerf: Giả sử u  (x, y)  Kerf  f (u)    (x  y, y, x)  (0, 0, 0)  x  y  0  u  (0, 0)Vậy Kerf  u  ( 0, 0) Tìm Imf: Xét cơ sở u1  (1, 0),u 2  (0,1) của2. Ta có f (u1 )  f (1, 0)  (1, 0,1)  v1;f (u 2 )  f (0,1)  (1,1, 0)  v 2Vậy Imf  L(v 1,v 2)Ví dụ 3 Cho f : P2 3, f (ax 2  bx  c)  (a  b,b  c,c  a) . Tìm Kerf và Imf.a  b  0 a  cGiải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b, b  c,c  a)  (0, 0, 0)  b  c  0  b  cc  a  02 p  cx 2  cx  c . Vậy Kerf  p  cx 2  cx  c | c Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1;p2  x;p3  x 2  của P2 . Ta có f (p1 )  f (1)  (0, 1,1)  v1;f (p2 )  f (x)  (1,1, 0)  v 2 ;f (p3 )  f (x 2 )  (1, 0,1)  v3 . Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3)Ví dụ 4 Cho f : P2 2, f (ax 2  bx  c)  (a  b  c,c) . Tìm Kerf và Imfa   ba  b  c  0  b Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  (a  b  c,c)  (0, 0)  c  0c  02 p  bx 2  bx . Vậy Kerf  p  bx 2  bx | b Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1,p2  x,p3  x 2  của P2 . Ta có f (p1 )  f (1)  (1,1)  v1 ,f (p2 )  f (x)  (1, 0)  v2 ,f (p3 )  f (x 2 )  (1, 0)  v3 . Vậy Imf  L(v 1,v 2)Ví dụ 5 Cho f : M 2 3a b,f     (a  b, b  c,c  d) . Tìm Kerf , Imf c da   da  b  0 a b d d  b  dGiải Tìm Kerf: Xét A  A  Kerf  (a  b, b  c,c  d)  (0, 0, 0)  b  c  0  c d d d c  d  0c  dd  d d Vậy Kerf  A  | d d d 1 00 10 0 0 0 Tìm Imf: Xét cơ sở A1   , A2   , A3   , A4    của M 2 . Ta có0 00 01 0 0 1 f (A1 )  (1, 0, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (0, 1,1)  v3 ,f (A 4 )  (0, 0,1)  v 4 . Vậy Imf  L(v 1,v 2,v 3,v 4)Dạng 3 Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  V1 trong cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của V và U1  s1 ,s2 ,...,s m của V1Phương pháp Tìm ảnh của các véc tơ trong cơ sở U: f (u1 )  v1 ,f (u 2 )  v2 ,...,f (u n )  vnKhi đó ma trận A có cột thứ i là viU 1Ví dụ 1 Cho f :32,f (x, y,z)  (x  z, x  y) . Tìm ma trận của f trong cơ sởU  u1  (1, 2,1),u 2  (0,1, 1),u 3  (0,1, 0) của3và U1  s1  (1, 2);s2  (1, 3) của2Giải Ta có f (u1 )  f (1, 2,1)  (2, 1)  v1 ,f (u 2 )  f (0,1, 1)  (1, 1)  v 2 ,f (u 2 )  f (0, 1, 0)  (0, 1)  v3 . Xétk  k 2  2k  5v1  k1s1  k 2s2  (2, 1)  k1 (1, 2)  k 2 (1, 3)  (2, 1)  (k1  k 2 , 2k1  3k 2 )   1 12k1  3k 2  1 k 2  3 5 3  1 5 3 1Vậy v1U     . Tương tự v1U     , v1U     .Ma trận cần tìm là A  111 3 4  1 3 4 1Ví dụ 2 Cho f : P2 3,f (ax 2  bx  c)  (a  b  c,a  b,c) . Tìm ma trận của f trong cơ sởU  p1  x 2  x  1,p2  x 2  2x,p3  2x  1 của P2 và U1  s1  (2,1, 0),s2  (1,1,1),s3  (1, 0, 0) củaGiải Ta có f (p1 )  f (x 2  x  1)  (1, 2, 1)  v1 ,f (p2 )  f (x 2  2x)  (3, 3, 0)  v 2 ;f (p3 )  f (2x  1)  (3, 2,1)  v3Xét v1  k1s1  k 2s2  k 3s3  (1, 2, 1)  k1 (2,1, 0)  k 2 (1,1,1)  k 3 (1, 0, 0)  (1, 2, 1)  (2k1  k 2  k 3 ,k1  k 2 ,k 2 )2 k 1  k 2  k 3  1  k 1  3 331     k1  k 2  2 k 2  1 . Vậy v1 U1    1  . Tương tự v2 U1    0  ; v3 U1    1 k  1k  4 4  3 0    2 33 3 3 1Ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở đã cho là A   1 0 1  4 3 0 Ví dụ 3 Cho f : M 2 3a b,f     (a  c, b  d,d) Tìm ma trận của f trong cơ sở c d 1 1 0 10 0  0 0 U  A1   , A2   , A3   , A4    của M 2 và0 0  1 0  1 1 0 1 U1  s1  (1, 2, 3),s2  (0,1, 2),s3  (1,1, 6) của3Giải Ta có f (A1 )  (1, 1, 0)  v1 ,f (A2 )  (1,1, 0)  v2 ,f (A3 )  (1, 1, 1)  v 3 ,f (A 4 )  (0, 1, 1)  v 4Xét v1  k1s1  k 2s2  k3s3  (1, 1, 0)  (k1  k 3 , 2k1  k 2  k 3 , 3k1  2k 2  6k 3 ) k1  k 3  1k1  10 10  10  11  3   2k1  k 2  k 3  1  k 2  12  v1 U1    12  Tương tự v2 U1    12  , v3 U1    3  , v 4 U1    4 3k  2k  6k  0k  9 9  9  10 3 23 1 3 10 10 11 3 Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở trên là A   12 123 4  99 10 3 Dạng 4 Tìm giá trị riêng của ma trậnCác giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình | A  I | 0 2 2 10 Ví dụ 1 Tìm các giá trị riêng của ma trận A   8 2 20  1 2 9 Giải Xét phương trình2  2102   202 10210| A  I | 0  82   20  0  (2  ) 8. 1.0292 9  2   20129 (2  )(2  7  22)  8(2  2)  (20  10)  0  3  5 2  2  8  0  (  2)( 2  3  4)  0 (  2)(  1)(  4)  0  1  2, 2  1, 3  4 . Vậy A có 3 giá trị riêng là 2, 1, 4Ví dụ 2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau 1 2 6 A   2 1 4 2 1 6 10 8 2 B   11 9 2  3 4 5 Đáp số: A: 1, 2, 3;B: 3, 1, 4;C: 1, 1, 2;D: 2, 2, 1 1 2 2 C 4 5 4  1 1 0 2 0 0D 1 3 4  4 1 2 

You're Reading a Free Preview
Page 2 is not shown in this preview.