Bài tập tìm cơ sở và số chiều của Kerf và Imf
Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tínhDạng 1 Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tínhu, v V : f (u v) f (u) f (v)Phương pháp f : V V1 là ánh xạ tuyến tính k R,u V : f (ku) kf (u)Ví dụ 1 Cho f :32, f (x, y, z) (x y, z x) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tínhGiải Xét u (x, y,z), v (x1 , y1 ,z1 ) 3;k . Ta có u v (x x1 , y y1 ,z z1 ) f (u v) (x x1 ) (y y1 ),(z z1 ) (x x1 ) (x y) (x1 y1 ),(z x) (z1 x1 ) (x y,z x) (x1 y1 ,z1 x1 ) f (u) f (v) (1)ku (kx,ky,kz) f (ku) (kx ky,kz kx) k(x y,z x) kf (u) (2)Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Ví dụ 2 Cho f : P2 2,f (ax 2 bx c) (a c,b) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.Giải Xét p ax 2 bx c,q a1x 2 b1x c1 P2 ,k . Ta có p q (a a1 )x 2 (b b1 )x (c c1 ) Suy raf (p q) f ((a a1 )x 2 (b b1 )x (c c1 )) ((a a1 ) (c c1 ),b b1 ) ((a c) (a1 c1 ),b b1 ) (a c,b) (a1 c1 ,b1 ) f (p) f (q) (1)kp kax 2 kbx kc suy ra f (kp) f (kax 2 kbx kc) (ka kc,kb) k(a c,b) kf (p) (2)Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Ví dụ 3 Cho f : M 2 3a b,f (a b c,d, 0) . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. c d a1 b1 a bGiải Xét A M 2 ,k ;B c d c1 d1 a a1. Ta có A B c c1b b1 . Suy rad d1 a a1 b b1 f (A B) f ((a a1 ) (b b1 ) (c c1 ),(d d1 ), 0) (a b c,d, 0) (a 1 b1 c1 ,d1 , 0) c c1 d d1 f (A) f (B) (1). ka kb ka kb kA f (kA) f (ka kb kc, kd, 0) k(a b c,d, 0) kf (A) (2) kc kd kc kd Từ (1) và (2) suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Dạng 2 Tìm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f : V V1Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u Kerf f (u) . Từ đó dẫn đến mô tả cho KerfTìm Imf : Xét một cơ sở U u1 ,u 2 ,...,u n của không gian nguồn V. Khi đó Imf L f (u1 ),f (u 2 ),...,f (u n ) Ví dụ 1 Cho f :32,f (x, y,z) (x z, y z) . Tìm Imf và Kerf.x zGiải Tìm Kerf: Giả sử u (x, y, z) Kerf f (u) (x z, y z) (0, 0) u (z, z,z), z y zVậy Kerf u (z, z,z) | z Tìm Imf: Xét cơ sở u1 (1, 0, 0);u 2 (0,1, 0);u 3 (0, 0,1) của3. Ta có f (u1 ) f (1, 0, 0) (1, 0) v1;f (u 2 ) f (0,1, 0) (0,1) v2 ;f (u 3 ) f (0, 0,1) ( 1,1) v3 . Vậy Imf L v 1,v 2,v 3 Nhận xét: Do Imf là không gian con củaVí dụ 2 Cho f :232và dễ thấy dimImf 2 nên Imf 2, f (x, y) (x y, y, x) . Tìm Kerf và Imf.Giải Tìm Kerf: Giả sử u (x, y) Kerf f (u) (x y, y, x) (0, 0, 0) x y 0 u (0, 0)Vậy Kerf u ( 0, 0) Tìm Imf: Xét cơ sở u1 (1, 0),u 2 (0,1) của2. Ta có f (u1 ) f (1, 0) (1, 0,1) v1;f (u 2 ) f (0,1) (1,1, 0) v 2Vậy Imf L(v 1,v 2)Ví dụ 3 Cho f : P2 3, f (ax 2 bx c) (a b,b c,c a) . Tìm Kerf và Imf.a b 0 a cGiải Tìm Kerf: Giả sử p ax bx c Kerf (a b, b c,c a) (0, 0, 0) b c 0 b cc a 02 p cx 2 cx c . Vậy Kerf p cx 2 cx c | c Tìm Imf: Xét cơ sở p1 1;p2 x;p3 x 2 của P2 . Ta có f (p1 ) f (1) (0, 1,1) v1;f (p2 ) f (x) (1,1, 0) v 2 ;f (p3 ) f (x 2 ) (1, 0,1) v3 . Vậy Imf L(v 1,v 2,v 3)Ví dụ 4 Cho f : P2 2, f (ax 2 bx c) (a b c,c) . Tìm Kerf và Imfa ba b c 0 b Giải Tìm Kerf: Giả sử p ax bx c Kerf (a b c,c) (0, 0) c 0c 02 p bx 2 bx . Vậy Kerf p bx 2 bx | b Tìm Imf: Xét cơ sở p1 1,p2 x,p3 x 2 của P2 . Ta có f (p1 ) f (1) (1,1) v1 ,f (p2 ) f (x) (1, 0) v2 ,f (p3 ) f (x 2 ) (1, 0) v3 . Vậy Imf L(v 1,v 2)Ví dụ 5 Cho f : M 2 3a b,f (a b, b c,c d) . Tìm Kerf , Imf c da da b 0 a b d d b dGiải Tìm Kerf: Xét A A Kerf (a b, b c,c d) (0, 0, 0) b c 0 c d d d c d 0c dd d d Vậy Kerf A | d d d 1 00 10 0 0 0 Tìm Imf: Xét cơ sở A1 , A2 , A3 , A4 của M 2 . Ta có0 00 01 0 0 1 f (A1 ) (1, 0, 0) v1 ,f (A2 ) (1,1, 0) v2 ,f (A3 ) (0, 1,1) v3 ,f (A 4 ) (0, 0,1) v 4 . Vậy Imf L(v 1,v 2,v 3,v 4)Dạng 3 Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V V1 trong cơ sở U u1 ,u 2 ,...,u n của V và U1 s1 ,s2 ,...,s m của V1Phương pháp Tìm ảnh của các véc tơ trong cơ sở U: f (u1 ) v1 ,f (u 2 ) v2 ,...,f (u n ) vnKhi đó ma trận A có cột thứ i là viU 1Ví dụ 1 Cho f :32,f (x, y,z) (x z, x y) . Tìm ma trận của f trong cơ sởU u1 (1, 2,1),u 2 (0,1, 1),u 3 (0,1, 0) của3và U1 s1 (1, 2);s2 (1, 3) của2Giải Ta có f (u1 ) f (1, 2,1) (2, 1) v1 ,f (u 2 ) f (0,1, 1) (1, 1) v 2 ,f (u 2 ) f (0, 1, 0) (0, 1) v3 . Xétk k 2 2k 5v1 k1s1 k 2s2 (2, 1) k1 (1, 2) k 2 (1, 3) (2, 1) (k1 k 2 , 2k1 3k 2 ) 1 12k1 3k 2 1 k 2 3 5 3 1 5 3 1Vậy v1U . Tương tự v1U , v1U .Ma trận cần tìm là A 111 3 4 1 3 4 1Ví dụ 2 Cho f : P2 3,f (ax 2 bx c) (a b c,a b,c) . Tìm ma trận của f trong cơ sởU p1 x 2 x 1,p2 x 2 2x,p3 2x 1 của P2 và U1 s1 (2,1, 0),s2 (1,1,1),s3 (1, 0, 0) củaGiải Ta có f (p1 ) f (x 2 x 1) (1, 2, 1) v1 ,f (p2 ) f (x 2 2x) (3, 3, 0) v 2 ;f (p3 ) f (2x 1) (3, 2,1) v3Xét v1 k1s1 k 2s2 k 3s3 (1, 2, 1) k1 (2,1, 0) k 2 (1,1,1) k 3 (1, 0, 0) (1, 2, 1) (2k1 k 2 k 3 ,k1 k 2 ,k 2 )2 k 1 k 2 k 3 1 k 1 3 331 k1 k 2 2 k 2 1 . Vậy v1 U1 1 . Tương tự v2 U1 0 ; v3 U1 1 k 1k 4 4 3 0 2 33 3 3 1Ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở đã cho là A 1 0 1 4 3 0 Ví dụ 3 Cho f : M 2 3a b,f (a c, b d,d) Tìm ma trận của f trong cơ sở c d 1 1 0 10 0 0 0 U A1 , A2 , A3 , A4 của M 2 và0 0 1 0 1 1 0 1 U1 s1 (1, 2, 3),s2 (0,1, 2),s3 (1,1, 6) của3Giải Ta có f (A1 ) (1, 1, 0) v1 ,f (A2 ) (1,1, 0) v2 ,f (A3 ) (1, 1, 1) v 3 ,f (A 4 ) (0, 1, 1) v 4Xét v1 k1s1 k 2s2 k3s3 (1, 1, 0) (k1 k 3 , 2k1 k 2 k 3 , 3k1 2k 2 6k 3 ) k1 k 3 1k1 10 10 10 11 3 2k1 k 2 k 3 1 k 2 12 v1 U1 12 Tương tự v2 U1 12 , v3 U1 3 , v 4 U1 4 3k 2k 6k 0k 9 9 9 10 3 23 1 3 10 10 11 3 Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở trên là A 12 123 4 99 10 3 Dạng 4 Tìm giá trị riêng của ma trậnCác giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình | A I | 0 2 2 10 Ví dụ 1 Tìm các giá trị riêng của ma trận A 8 2 20 1 2 9 Giải Xét phương trình2 2102 202 10210| A I | 0 82 20 0 (2 ) 8. 1.0292 9 2 20129 (2 )(2 7 22) 8(2 2) (20 10) 0 3 5 2 2 8 0 ( 2)( 2 3 4) 0 ( 2)( 1)( 4) 0 1 2, 2 1, 3 4 . Vậy A có 3 giá trị riêng là 2, 1, 4Ví dụ 2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau 1 2 6 A 2 1 4 2 1 6 10 8 2 B 11 9 2 3 4 5 Đáp số: A: 1, 2, 3;B: 3, 1, 4;C: 1, 1, 2;D: 2, 2, 1 1 2 2 C 4 5 4 1 1 0 2 0 0D 1 3 4 4 1 2
You're Reading a Free Preview |