Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", kí hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên.

n! = n x (n - 1) x (n-2) .... 4 x 3 x 2 x 1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1.

Ví dụ: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

---

Thuật toán

Cách 1: Dùng vòng lặp

Cách 2: Dùng đệ quy

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau:

• 0! = 1
• n! = n × (n - 1)! với n> 0

Ví dụ: 3! = 3 x 2! = 6 (vì 2! = 2)

Bài tập mang tính tham khảo, hỗ trợ các bạn làm quen và luyện tập với các bàn toán lập trình cơ bản trong C++.

Kteam khuyến khích các bạn tự phân tích đề bài > tự giải bài toán > debug để kiểm tra kết quả và fix lỗi trong quá trình giải. Sau đó, bạn có thể tham khảo source code mẫu để hoàn chỉnh bài tập.

Để được hỗ trợ tốt nhất, bạn có thể đặt câu hỏi ở phần bình luận bên dưới bài viết hoặc ở mục Hỏi & Đáp.

---

Source code tham khảo

Header.h

`// Header.h

ifndef HEADER

define HEADER

int tinhGiaiThua(int); int tinhGiaiThuaDeQuy(int);

endif // HEADER

`

Source.cpp

`// Source.cpp

include

include "Header.h"

using namespace std; int main() { int nInput; cout << "Enter n(integer): "; cin >> nInput; int nFactorial = tinhGiaiThua(nInput); cout << nFactorial << endl; return 0; } // Cách 1: Sử dụng vòng lặp int tinhGiaiThua(int nInput) { int nFact = 1; for (int i = nInput; i > 0; i--) {

nFact = nFact * i;  

} return nFact; } // Cách 2: Sử dụng đệ quy int tinhGiaiThuaDeQuy(int nInput) { if (nInput == 0) {

return 1;  

} return nInput * tinhGiaiThuaDeQuy(nInput - 1); } `

---

Kết luận

Bạn có thể củng cố kiến thức C++ từ khóa Lập trình C++ cơ bản.

Hoặc tìm hiểu thêm các bài tập khác trong khóa Bài toán kinh điển trong lập trình

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết. Hãy để lại bình luận hoặc góp ý của bạn để phát triển bài viết tốt hơn. Đừng quên “Luyện tập – Thử thách – Không ngại khó”.

---

Tải xuống

Tài liệu

Nhằm phục vụ mục đích học tập Offline của cộng đồng, Kteam hỗ trợ tính năng lưu trữ nội dung bài học Tìm giai thừa của một số (Find Factorial of Number) dưới dạng file PDF trong link bên dưới.

Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm thấy các tài liệu được đóng góp từ cộng đồng ở mục TÀI LIỆU trên thư viện Howkteam.com

Đừng quên like và share để ủng hộ Kteam và tác giả nhé!

---

Thảo luận

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện Howkteam.com để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.

- Chữ số tận cùng của tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.

- Chữ số tận cùng của tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

- Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 9 có chữ số tận cựng bằng 5.

- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số lẻ có tận cùng là 5.

- Tích hai số có chữ số tận cùng là các số tự nhiên liên tiếp chỉ có thể cho kết quả có các chữ số tận cùng là: 0, 2 hoặc 6.

- Tích của 4 thừa số 3 (3 x 3 x 3 x 3) có tận cùng là 1.

- Tích của 4 thừa số 2 (2 x 2 x 2 x 2) có tận cùng là 6.

- Tích của 4 thừa số 9 ( 9 x 9 x 9 x 9) có tận cùng là 1.

- Tích các số có tận cùng là 1 có tận cùng là 1.

- Tích của tất cả các số có tận cùng là 6 có tận cùng là 6.

- Tích của chẵn các thừa số 4 ( 4 x 4 = 16) có tận cùng là 6

- Tích của lẻ các thừa số 4 ( 4 x 4 x 4 = 64) có tận cùng là 4.

2. Chữ số tận cùng là các chữ số 0

- Tích một số có chữ số tận cùng là 5 với một số chẵn có tận cùng là 0.

- Khi nhân một số (khác số tròn chục, tròn trăm..) với các số tròn chục 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80; 90 ta được tích là số só tận cùng là một chữ số 0.

- Các số 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85; 95; 105; 115; 135; 145; 165;..... khi nhân với một số chẵn ta được tích là số có tận cùng là một chữ số 0.

- Các số 25; 50; 75 khi nhân với một số chia hết chia 4 ta được tích là số có tận cùng là hai chữ số 0.

- Tích của hai số có chữ số không tận cùng giống nhau chỉ có thể có chữ số tận cùng 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 (không thể tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8)

HỆ THỐNG CHƯƠNG TRÌNH HỌC CỦA MATHX

• Khóa học toán lớp 5 (0912.698.216): - Xem ngay
• Lớp học toán trực tuyến có giáo viên (0866.162.019): - Xem ngay
• Lớp học toán offline tại Hà Nội (0984.886.277): - Xem ngay

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:

(2011 + 2012 +….+ 2019) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109)

Giải:

Ta thấy 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số:

1 + 2 + 3 + …+ 9 => 2011 + 2012 +….+ 2019 có chữ số tận cùng là 5

Tương tự 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 cũng có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số:

1 + 2 + 3 + …+ 9 => 21 + 32 + 43 + … + 98 + 109 có chữ số tận cùng là 5

Vậy (2011 + 2012 +….+ 2019) – (21 + 32 + 43 + … + 98 + 109) có chữ số tận cùng la 0.

Ví dụ 2. Tìm chữ số tận cùng của biểu thức:

13 x 45 x 137 x 359 x 657 – 71 x 73 x 75 x 79

Giải:

Tìm chữ số tận cùng của 13 x 45 x 137 x 359 x 657

Ta xét 3 x 5 x 7 x 9 x 7 là tích của số 5 và các số lẻ nên có tận cùng là 5

\=> 13 x 45 x 137 x 359 x 657 có chữ số tận cùng là 5

Tương tự ta có: 71 x 73 x 75 x 79 có chữ số tận cùng là 5

Vậy 13 x 45 x 137 x 359 x 657 – 71 x 73 x 75 x 79 có chữ số tận cùng là 0

Ví dụ 3. Tìm chữ số tận cùng của A = 3 x 3 x ….x 3 ( 100 thừa số 3)

Giải:

Ta có: 3 x 3 x 3 x 3 = 81, tích của 4 chữ số 3 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 1.

Vì 100 : 3 = 33 dư 1

Vậy 100 thừa số 3 ta nhóm được 33 nhóm (mỗi nhóm 4 thừa số 3) và dư ra 1 thừa số 3

A = ( 3 x 3 x 3 x 3 ) x ….x ( 3 x 3 x 3 x 3) x 3

Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 1

Vậy tích A có chữ số tận cùng là 3.

Ví dụ 3: Tích sau tận cùng bằng chữ số nào?

B = 4 x 14 x 24 x 34 x ….x 164

Giải:

Tích trên có số thừa số: (164 - 4) : 10 + 1 = 17 ( thừa số)

Ta có: 4 x 4 = 16, tích của 2 chữ số 4 cho chữ số tận cùng bằng chữ số 6.

Vì 17 : 2 = 8 dư 1

Vậy 17 thừa số trên ta nhóm được 8 nhóm ( mỗi nhóm 2 thừa số ) và dư ra 1 thừa số.

B = ( 4 x 14) x (24 x 34) x …. x (144 x 154) x 164

Cứ mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6, số 164 có tân cùng là 4

Vậy B có chữ số tận cùng là 4.

Ví dụ 4: Cho X = A - B, biết:

A = 3 x 13 x 23 x.......x 2003 x 2013

B = 2 x 12 x 22 x ........x 2002 x 2012

Hỏi X có chia hết cho 5 không?

Giải:

A có số các thừa số là: (2013 – 3) : 10 + 1 = 202 (thừa số)

B có số các thừa số là: (2012 – 2) : 10 + 1 = 202 (thừa số)

Ta thấy tích của 4 thừa số tận cùng là 3 sẽ có chữ số tận cùng là 1.

Vì 202 : 4 = 50 dư 2

Vậy A là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số tận cùng là 3) và dư ra 2 thừa số tận cùng là 3

\=> A có tận cùng là 9.

Tương tự như trên: Tích của 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2 có tận cùng là 6.

Vì 202 : 4 = 50 dư 2

Vậy B là tích của 50 nhóm (mỗi nhóm có 4 thừa số có chữ số tận cùng là 2) và dư ra 2 thừa số có chữ số tận cùng là 2.

\=> B tận cùng là 4.

Vậy X có tận cùng là 5 vì 9 – 4 = 5 nên X chia hết cho 5.

Ví dụ 5: Tích A = 4 x 11 x 15 x 6 x 17 x 25 x 45 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Giải:

Tích của 4 và 25 có 2 chữ số 0 tận cùng

Tích của 6 và 45 có 1 chữ số 0 tận cùng

Vậy A có 3 chữ số 0 tận cùng.

Ví dụ 6: Cho M = 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x ... x 89.

Hỏi M có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Giải:

- Tích có các thừa số: 5; 15; 35; 45; 55; 65; 85 khi nhân với một số chẵn có tận cùng là một chữ số 0. Vậy có 7 chữ số 0.

- Tích có các số tròn chục là: 10; 20; 30; 40; 60; 70; 80 . Do đó có 7 chữ số 0 tận cùng.

- Tích có các thừa số: 25; 50; 75 khi nhân mỗi thừa số với một số chia hết cho 4 có tận cùng là 2 chữ số 0. Do đó có tận cùng là 6 chữ số 0.