Đề bài
Cho hai số a, b [a b]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[f\left[ x \right] = {\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {x - b} \right]^2} + {\left[ {x - c} \right]^2}\]
Lời giải chi tiết
\[\eqalign{& f\left[ x \right] = {\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {x - - b} \right]^2} \cr & = 2{x^2} - 2\left[ {{\rm{a}} + b} \right]x + {a^2} + {b^2} \cr & = 2{\left[ {x - {{a + b} \over 2}} \right]^2} + {{{{\left[ {{\rm{a}} - b} \right]}^2}} \over 2}. \cr} \]
Ta có \[f\left[ x \right] \ge {{{{\left[ {{\rm{a}} - b} \right]}^2}} \over 2}\]với mọi a, b ; đẳng thức xảy ra khi \[{\left[ {x - {{a + b} \over 2}} \right]^2} = 0,\]tức là \[x = \dfrac{{a + b}}{2}.\] Vậy \[f[x]\] đạt giá trị nhỏ nhất là \[\dfrac{{{{\left[ {{\rm{a}} - b} \right]}^2}}}{2}\] tại \[x = \dfrac{{a + b}}{2}.\]
Chú ý. Tránh sai lầm khi suy luận rằng \[[x - a]^2 + [x - b]^2 \ge 0\] với mọi \[x\] nên giá trị nhỏ nhất của \[f[x]\] là 0.