Đề bài
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA.
a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, R, S thuộc cùng một đường tròn.
b. Cho \[AC = 24cm, BD = 18cm.\] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNRS.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
a] Để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh 4 điểm đó cùng cách đều một điểm cố định.
Chỉ ra tứ giác MNRS là hình chữ nhật rồi sử dụng tính chất: Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường
b] Định lý Pytago:Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có:\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
Lời giải chi tiết
a. Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC [gt] nên MN là đường trung bình của ABC.
Do đó : MN // AC [1]
Tương tự SR là đường trung bình của ADC nên SR // AC [2]
Từ [1] và [2] MN // RS // AC [3]
Chứng minh tương tự ta có: MS // NR // BD [4]
Từ [3] và [4] MNRS là hình bình hành [các cạnh đối song song]
Mặt khác AC BD [gt] MN MS nên hình bình hành MNRS là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo MR và NS ta có:
OM = ON = OR = OS
Chứng tỏ bốn điểm M, N, R, S thuộc cùng một đường tròn tâm O.
b. Ta có: MN là đường trung bình của ABC [cmt], ta có:
\[MN = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}.24 = 12\,\left[ {cm} \right]\]
Tương tự: \[MS = {1 \over 2}BD = 9\,\left[ {cm} \right]\]
Lại có MNS vuông tại M [cmt] ta có:
\[SN = \sqrt {M{N^2} + M{S^2}} \]\[\;= \sqrt {{{\left[ {12} \right]}^2} + {{\left[ 9 \right]}^2}} = 15\left[ {cm} \right]\]
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNRS có tâm O và bán kính là
\[{{SN} \over 2} = {{15} \over 2} = 7,5\,\left[ {cm} \right]\]