Giải bài 41 sgk toán 9 tập 1 trang 128 năm 2024
Lời giải chi tiết
\(OK = OC – KC\) nên (K) tiếp xúc trong với (O) \(IK = IH + KH\) nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\) Tương tự có \(\widehat {AFH} = {90^0}\) ( do \(HF\bot AC\)) Và \(\widehat {BAC} = {90^0}\) (do A thuộc đường tròn đường kính BC) Tứ giác AEHF có \(\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật.
∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \(AH^2 = AF. AC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Do đó \(AE. AB = AF. AC\) (vì cùng bằng \(AH^2\) )
Xét ∆MEI và ∆MHI có: \(ME = MH, IE = IH (=R)\), MI (cạnh chung) Do đó \(∆MEI = ∆MHI\) (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\) mà \(\widehat {MHI} = {90^0}\) (do AD vuông góc với BC) nên \(\widehat {MEI} = {90^0}\) Suy ra \(ME \bot EI\) tại E mà IE là bán kính đường tròn (I) ⇒ ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K) Hoặc ta chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (K) như sau: Vì \(MF=MH\) (cmt) nên tam giác MFH cân tại M, suy ra \(\widehat {MHF}=\widehat {MFH}\) (*) (tính chất) Vì \(KH=KF\) (= bán kính đường tròn (K)) nên tam giác KFH cân tại K. Suy ra \(\widehat {KHF}=\widehat {KFH}\) (**) (tính chất) Cộng theo vế với vế của (*) và (**) ta có: \(\widehat {MHF}+\widehat {KHF}=\widehat {MFH}+\widehat {HFK}\) Hay \(\widehat {KFM}=\widehat {MHK}=90^0\) (do \(AH\bot BC\)) Suy ra \(MF\bot FK\) tại F mà KF là bán kính đường tròn (K) nên EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)
Do đó \(EF ≤ R\), \(R\) không đổi. Dấu “=” xảy ra \(⇔ H ≡ O\) Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất. Cách 2 câu e: Xét đường tròn (O) có BC là đường kính và AD là dây cung mà \(AD\bot BC\) tại H nên H là trung điểm của AD (định lý). Suy ra \(AH=\dfrac{AD}2\) Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
Hướng dẫn làm bài:
\(OK = OC – KC\) nên (K) tiêó xúc trong với (O) \(IK = IH + KH\) nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)
\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\) Tương tự có \(\widehat {AFH} = {90^0};\widehat {BAC} = {90^0}\) Tứ giác AEHF có \(\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật.
∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \(AH^2 = AF. AC\) Do đó \(AE. AB = AF. AC\)
Xét ∆MEI và ∆MHI có: \(ME = MH, IE = IH (=R)\), MI (cạnh chung) Do đó \(∆MEI = ∆MHI\) (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\) mà \(\widehat {MHI} = {90^0}\) nên \(\widehat {MEI} = {90^0}\) ⇒ EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)
Do đó \(EF ≤ R\), không đổi. Dấu “=” xảy ra \(⇔ H ≡ O\) Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất. Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng
Hướng dẫn làm bài:
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\) \(∆MAB\) cân tại \(M (MA = MB)\) Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\) Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\) và \(\widehat {MFA} = 90^0\) \(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kẻ bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\)
Tương tự, ta có: \(MF. MO’ = MA^2\) Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\)
Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // OC.\) Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC. Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\) Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\) Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’ Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A). |