Giải bài tập phương trình vi phân cấp 1

Trường ĐH Bách khoa Hà Nội KSTN-Hóa dầu K60 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Lời giải được thực hiện bởi Lâm Hữu Minh Một số kinh nghiệm khi giải một PT vi phân bất kì:  Xác định mục tiêu là đưa về 1 trong số các dạng PT đã biết cách giải.  Không nhất thiết cứ phải tìm y theo x hay 1 biến khác, có thể biến đổi thành PT để tìm x theo y, miễn là việc giải đơn giản và tìm được PT đường tích phân tổng quát.  Đặt ẩn phụ là phương pháp hay dùng để giải một PT vi phân nói chung, tuy nhiên không phải lần đặt nào cũng có thể đưa PT ngay về dạng đơn giản, do đó ta có thể dùng kỹ thuật đặt ẩn phụ gộp, đó là gộp các lần đặt riêng lẻ vào 1 lần. Chẳng hạn ta đặt 2 lần: lần 1 là

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho (**)

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

Chọn C = 1 ta có:

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

Ta có:

Thế vào phương trình ta có:

Suy ra: . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v'(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót.