Giải phương trình 2sin2x-2cos2x=√2
Nếu các bạn chưa được học lý thuyết giải phương trình lượng giác bậc nhất sin và cos một cung mời các bạn nghiên cứu tại: http://giasukhanhhoa.blogspot.com/2013/08/giai-phuong-trinh.html Đầu tiên chúng ta kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \[{2^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 8 \ge {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\] Rõ ràng phương trình trên có nghiệm. Chúng ta chia hai vế của phương trình cho \[2\sqrt 2 \] ta được:
\[\frac{2}{{2\sqrt 2 }}\sin x - \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}\] Rút gọn và biến đổi, ta được phương trình mới:
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\] Ta nhận thấy: \[\sin \frac{\pi }{4} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\] Do đó, ta có: \[\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} - \cos x.\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}\] Áp dụng công thức cộng của hàm sin:
\[\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha .c{\rm{os}}\beta - c{\rm{os}}\alpha .\sin \beta \] Ta được: \[\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\]
Ta có: Do đó, phương trình được đưa về dạng:
\[\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\] Áp dụng phương trình lượng giác cơ bản đối với hàm sin: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\ x = \pi - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\ \end{array} \right.\] Như vậy, nghiệm của phương trình: \[\left[ \begin{array}{l} x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;k \in Z \\ x - \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\ \end{array} \right.\] Chuyển vế và tính toán, ta được nghiệm: \[\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ;k \in Z \\ x = \frac{{13\pi }}{{12}} + m2\pi ;m \in Z \\ \end{array} \right.\]
Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng 2sin2x - 2cos2x =2
A. 0.
B. π4.
C.-3π4
D.-π4 Đáp án chính xác
Xem lời giải Đáp án: $\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{\pi}{24} + k\pi\\x=-\dfrac{5\pi}{24} + k\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$ Giải thích các bước giải: $2\cos2x -2\sin2x =\sqrt2$ $\to \dfrac{\sqrt2}{2}\cos2x -\dfrac{\sqrt2}{2}\sin2x =\dfrac12$ $\to \cos\left(2x +\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}$ $\to \left[\begin{array}{l}2x +\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6} + k2\pi\\2x +\dfrac{\pi}{4} =-\dfrac{\pi}{6} + k2\pi\end{array}\right.$ $\to \left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{\pi}{24} + k\pi\\x=-\dfrac{5\pi}{24} + k\pi\end{array}\right.\quad (k\in\Bbb Z)$ Đáp án: `x=5pi/24 +kpi` Hoặc `x=pi/24 +kpi` Giải thích các bước giải: `2sin2x - 2cos2x= sqrt{2}` `<=>sin2x - cos2x = sqrt{ 2/2}` `<=>sin(2x-pi/4)= 1/2` `<=>2x-pi/4 = pi/6 +k2pi` Hoặc`2x -pi/4= pi -pi/6 +k2pi` `<=>x=5pi/24 +kpi` Hoặc `x=pi/24 +kpi` |