Hệ bất phương trình vô nghiệm khi nào lớp 10

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn: Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. Giải và biện luận hệ bất phương trình: a1x + b1 ≤ 0, a2x + b2 ≤ 0. Xét các trường hợp tồn tại dấu của a1 và a2. Với mỗi trường hợp riêng biệt nhận được ở trên, thông thường ta có các trường hợp sau: TH1: Nếu a1, a2 > 0. Khi đó [I] ⇔ x ≤ minß. TH2: Nếu a1, a2 0; a2 < 0. Khi đó [I] ⇔ x ≤ −b1; a1 ≥ −b2. Hệ có nghiệm điều kiện là: −b2 a2 ≤ −b1 a1. TH4: Nếu a1 = 0 hoặc a2 = 0. Khi đó thay trực tiếp giá trị tham số vào hệ [I]. BÀI TẬP DẠNG 5. Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình: x + m ≤ 0, − x + 3 3 ⇔ m 2x − 1 có nghiệm. Xét các trường hợp: TH1: Nếu 1 − 2m = 0 ⇔ m = 1. Khi đó [1] có tập nghiệm S1 = R. Khi đó hệ có tập nghiệm S = [−3; +∞]. TH2: Nếu 1 − 2m 1. Suy ra [1] có nghiệm: x ≥ 1 − 4m2 ⇔ x ≥ 1 + 2m. Khi đó hệ có tập nghiệm S = [1 + 2m; +∞] [do 1 + 2m > 2 > −3]. TH3: Nếu 1 − 2m > 0 ⇔ m −3 ⇔ m > −2. Với −2 < m −2 hệ bất phương trình có nghiệm. Ví dụ 3. Tìm m để hệ bất phương trình: mx + 9 < 3x + m2, 4x + 1 < −x + 6 vô nghiệm. Xét các trường hợp: TH1: Nếu m − 3 = 0 ⇔ m = 3. Khi đó [1] có tập nghiệm S1 = ∅. Với m = 3 hệ bất phương trình vô nghiệm. TH2: Nếu m − 3 < 0 ⇔ m m + 3. Khi đó hệ vô nghiệm khi m + 3 ≥ 1 ⇔ m ≥ −2. Với −2 ≤ m 0 ⇔ m > 3 thì [1] có nghiệm x 3 hệ bất phương trình luôn có nghiệm. Vậy hệ bất phương trình vô nghiệm khi −2 ≤ m ≤ 3.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình: x − 2 ≤ 0, m + x > 1 có nghiệm. Để hệ bất phương trình có nghiệm thì 1 − m −1. Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ bất phương trình: 2x + 7 0 vô nghiệm. Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì m + 5. Bài 3. Với giá trị nào của m thì hệ 3x + 2 − 2m ≤ 0, mx + m − 1 ≤ 0 có nghiệm duy nhất. mx ≤ 1 − m [3]. Xét các trường hợp: TH1: Nếu m = 0, khi đó bất phương trình [3] ⇔ 0x ≤ 1 luôn đúng. Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là x ≤ −2 và nghiệm là không duy nhất. TH2: Nếu m > 0, khi đó bất phương trình [3] ⇔ x ≤ 1 − m. Khi đó nghiệm của hệ là x ≤ minß và nghiệm là không duy nhất. TH3: Nếu m 2x + 3m, m[x − m] 3m − 6 [1], [m − 1]x < m2 − 1 [2] [I]. Xét các trường hợp: TH1: Nếu m < 1, khi đó hệ [I] ⇔ x m + 1 ⇒ m + 1 < x < 3. Khi đó tập nghiệm của hệ là S = [m + 1; 3]. TH2: Nếu m = 1, khi đó hệ [I] ⇔ x < 3, 0x < 0 ⇒ hệ vô nghiệm. TH3: Nếu 1 < m < 2, khi đó hệ [I] ⇔ x < 3, x < m + 1 ⇒ x 0, x 2, khi đó hệ [I] ⇔ x > 3, x < m + 1 ⇒ 3 < x < m + 1. Khi đó tập nghiệm của hệ S = [3; m + 1]. Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi m khác 1 và m khác 2.

Bất phương trình là một trong những dạng toán khó của chương trình đại số lớp 10 bởi tính đa dạng của nó. Nếu vẫn còn mơ hồ về kiến thức này, các em hãy tham khảo ngay những dạng bài tập và cách giải bài tập bất phương trình lớp 10 qua bài viết dưới đây từ Team Marathon Education.

Xem thêm: Học Toán lớp 10 Online Hiệu Quả Cùng Marathon Education

Bất phương trình là gì?

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề [biểu thức] chứa biến x so sánh hai hàm số f[x] và g[x] trên trường số thực dưới một trong các dạng

\begin{aligned} &f[x] < g[x], f[x] > g[x], f[x] \le g[x],f[x]\ge g[x] \end{aligned}

Giao của hai tập xác định của các hàm số f[x] và g[x] được gọi là tập xác định của bất phương trình.

Cách giải bất phương trình bậc nhất

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến x có dạng f[x] > g[x], f[x] ≥ g[x].

Để có thể giải được dạng bài tập này, các em cần nắm vững một số nội dung quan trọng dưới đây. 

Cách giải và biện luận bất phương trình ax + b < 0

Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất

Điều kiện của a và b sẽ ảnh hưởng đến kết quả của nghiệm cuối cùng thu được.

Trong đó, cả P[x] và Q[x] đều là những nhị thức bậc nhất.

  Quy Tắc Đếm - Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Phương pháp giải: Lập bảng xét dấu của của P[x].Q[x], từ đó suy ra tập nghiệm.

Cách giải bất phương trình có ẩn ở mẫu

Trong đó, P[x] và Q[x] là những nhị thức bậc nhất.

Phương pháp giải: Các em lập bảng xét dấu của của P[x]/Q[x], sau đó suy ra được tập nghiệm. Để đảm bảo tính chính xác của phép chia, các em không nên quy đồng và khử mẫu.

Cách giải bất phương trình chứa tham số

Giải bất phương trình chứa tham số [m+a]x + b > 0 là xem xét rằng với các giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm ra các nghiệm đó.

Phương pháp giải: Tùy theo yêu cầu đề, lập bảng xét dấu, biện luận tìm tham số m phù hợp và tìm nghiệm [nếu có]. 

Cách giải bất phương trình bậc 2

Bảng xét dấu

Nhận xét:

ax^2+bx+c>0, \ \forall x\in\R \Leftrightarrow \begin{cases}a>0\\\Delta<0\end{cases}\\ ax^2+bx+c<0, \ \forall x\in\R \Leftrightarrow \begin{cases}a<0\\\Delta<0\end{cases}\\

Biện luận tập nghiệm

Bất phương trình bậc 2 có dạng a.x2 + b.x + c > 0 với a # 0

Đặt Δ = b2 − 4ac. Ta có các trường hợp sau:

Áp dụng định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối:

|f[x]| < g[x] \Leftrightarrow \begin{cases}g[x] > 0 \\ -g[x] < f[x] < g[x]\end{cases}

|f[x]| > g[x] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} g[x] < 0\\ f[x] \ \text{có nghĩa} \end{cases}\\ \left\{\begin{array}{l} g[x]\ge0\\ \left[\begin{array}{l} f[x]<-g[x] \\ f[x]>g[x]\\ \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.

>>> Xem thêm: 3 Cách Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối Đơn Giản

Cách giải bất phương trình chứa căn thức

Để có thể khử căn và giải được dạng bài tập này, các em cần kết hợp phép nâng lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ. 

>>> Xem thêm: Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Chứa Căn Chi Tiết

Bài tập giải bất phương trình lớp 10

Bài tập 1: Giải bất phương trình -6x + 12 < 0

Hướng dẫn giải:

-6x + 12 < 0 ⇔ -6x < 12 ⇔ x > 2

  Hàm Số Bậc Nhất - Lý Thuyết Và Phương Pháp Giải Bài Tập

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S={x | x > 2}

Bài tập 2: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &x+1 \ge \sqrt{2[x^2-1]}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x+1\ge 0\\[x+1]^2 \ge 2[x^2-1]\\x^2-1\ge 0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\x^2-2x-3\le0\\x^2\ge 1 \end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge -1\\-1\le x \le 3\\ \left[\begin{array}{c} x\le-1\\x\ge 1 \end{array} \right. \end{cases}\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{c} x=-1\\1\le x \le 3 \end{array} \right.\\ &\text{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là } S=[1;3] ∪\{-1\} \end{aligned}

Bài tập 3: Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm

\begin{aligned} &a] \space x^2+ \sqrt{x+8} \le-3\\ &b]\space \sqrt{1+2[x-3]^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2} \end{aligned}

\begin{aligned} &Lời\space giải:\\ &a]\text{Điều kiện xác định }x\ge-8\\ &Ta\space có:x^2\ge0;\sqrt{x+8}\ge0\space nên\space x^2+\sqrt{x+8}\ge-3\space với\space mọi\space x\ge-8\\ &BPT\space x^2+\sqrt{x+8}\le-3\space vô\space nghiệm \end{aligned}

\begin{aligned} &b]Tập\space xác\space\ định:D=R\\ &1+2[x-3]^2\ge1+0=1\\ &=>\sqrt{1+2[x-3]^2}\ge\sqrt{1}=1\\ &5-4x+x^2=1+[4-4x+x^2]\\ &=1+[2-x]^2\ge1\\ &=>\sqrt{5-4x+x^2}\ge\sqrt{1}=1\\ &=>\sqrt{1+[2-x]^2}+\sqrt{5-4x+x^2}\\ &\ge1+1=2\ge\frac{3}{2}\\ &với\space mọi\space x\in R\\ &=>BPT \sqrt{1+[2-x]^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2}\space vô\space nghiệm \end{aligned}

Bài tập 4: Giải bất phương trình

\begin{aligned} &\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &Lời\space giải\\ &Tập\space xác\space định:D=R\\ &\frac{3x-1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}\\ &\Leftrightarrow\frac{6.[3x+1]-4[x-2]}{12}<\frac{3[1-2x]}{12}\\ &\Leftrightarrow6[3x+1]-4[x-2]<3[1-2x]\\ &\Leftrightarrow18x+6-4x+8<3-6x\\ &\Leftrightarrow20x<-11\\ &\Leftrightarrow x<-\frac{11}{20}\\ &\text{Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=}\bigg[-\infin,\frac{-11}{20}\bigg] \end{aligned}

Bài tập 5: Giải hệ bất phương trình

\begin{aligned} &\begin{cases} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}<2x+5 \end{cases}\\ &Lời\space giải:\\ &\begin{cases} &6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ &\frac{8x+3}{2}<2x+5 &\end{cases}\\ &\begin{cases} 6x-4x<7-\frac{5}{7}\\ 4x-2x<5-\frac{3}{2} &\end{cases}\\ &\begin{cases} x<\frac{22}{7}[1]\\ x<\frac{7}{4}[2] &\end{cases}\\ &\text{Kết hợp [1] và [2] ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình:}\\ &T=[-\infin;\frac{22}{7}]\cap [-\infin;\frac{7}{4}]=[-\infin;\frac{7}{4}] \end{aligned}

Bài tập 6: Giải hệ bất phương trình sau

\begin{aligned} &\begin{cases} 15x-2>2x+\frac{1}{3}\\ 2[x-4]<\frac{3x-14}{2} \end{cases}\\ &Lời\space giải:\\ &15x-2>2x+\frac{1}{3}\\ &\Leftrightarrow x>\frac{7}{39} [1]\\ &\Leftrightarrow 2[x-4]<\frac{3x-14}{2}\\ &\Leftrightarrow x<2 [2]\\ &\text{Kết hợp [1] và [2] ta được tập nghiệm của hệ phương trình là:}\\ &S=\bigg[\frac{7}{39};+\infin\bigg]\cap \bigg[-\infin;2\bigg]=\bigg[\frac{7}{39};2\bigg] \end{aligned}

Bài tập 7: Giải bất phương trình sau

\begin{aligned} &[2x-1][x+3]-3x+1\le[x-1][x+3]+x^2-5\\ &Lời\space giải:\\ &\Leftrightarrow 2x^2+6x-x-3-3x+1\le x^2+3x-x-3+x^2-5\\ &\Leftrightarrow2x^2+2x-2\le 2x^2+2x-8\\ &\Leftrightarrow6\le 0 [vô\space lý]\\ &Vậy\space bất\space phương\space trình\space vô\space nghiệm \end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

  Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Team Marathon Education đã giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải bất phương trình. Nhanh tay đăng ký khóa học tại Marathon Education để trau dồi thêm kiến thức các em nhé!

Video liên quan