Hình thang vuông là tứ giác có gì

Hình thang là gì? Dấu hiệu nhận biết hình thang và các tính chất hình thang cân, vuông mà các bạn cần lắm rõ lý thuyết về hình thang.

Hình thang là gì ?

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hai cạnh song song gọi là hai đáy.

Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

Dấu hiệu nhận biết hình thang.

Nhận biết về hình thang chúng ta có 5 dấu hiệu nhận biết đó là

Tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông
Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

Cách tính chu vi hình thang

công thức tính diện tích hình thang

dấu hiệu nhận biết hình thoi

Tính chất của hình thang

tính chất về góc

• Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là 2 cạnh đáy).
• Đối với hình thang cân thì hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Tính chất về cạnh

• Hình thang có 2 cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau.
• Ngược lại, nếu hình thang có 2 cạnh bên song song thì chúng sẽ bằng nhau và 2 cạnh đáy bằng nhau.
• Hình thang cân có 2 đường chéo bằng nhau.

Tính chất về đường trung bình

• Đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
• Tính chất 1: Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh bên của hình thang và song song với 2 cạnh đáy thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.
• Tính chất 2: Đường trung bình của hình thang sẽ song song với 2 cạnh đáy và bằng ½ tổng 2 đáy.

Có mấy 3 hình thang

Hình thang vuông

Hình thang cân

Hình thang vuông cân còn được gọi là hình chữ nhật

Như vậy ta có nhận xét như sau :

Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.

Tính chất hình thang vuông

Định nghĩa hình thang vuông:

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình thang vuông là 1 trường hợp đặc biệt của hình thang .

Dấu hiệu nhận biết bình thang vuông

Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

Hình thang vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thang.

Ví dụ chứng minh hình thang vuông

Cho hình thang ABCD, đáy AB = 40 cm , CD = 80 cm, cạnh bên BC = 50 cm và AD = 30 cm. Yêu cầu: Chứng minh ABCD là hình thang vuông.

Lời giải

Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC và cắt DC tại E.

Ta có: AE = BC = 50 cm; EC = AB = 40 cm

=> DE = 80 – 40 = 40 cm

Tam giác ADE có AD = 30 cm, DE = 40 cm và AE = 50 cm

nê AD² = 30² = 900 cm , DE² = 40² = 1600 cm , AE² = 50² = 2500

AE² = AD² + DE² theo định lý pitago đảo cho tam giác vuông ADE

suy ra Â = D =90° suy ra tứ giác ABCD là hình thang vuông

Tính chất hình thang cân

Định nghĩa hình thang cân :

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Tính chất hình thang cân

Hai cạnh bên bằng nhau.

Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau.

Hai đường chéo bằng nhau.

Hình thang cân nội tiếp đường tròn

Chứng minh như sau :

Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AD = BC

Định lí 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AC =

BD

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Hình thang ABCD (đáy AB, CD) có AC = BD

=> ABCD là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

Dấu hiệu nhận biết hình trang cân

Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên.

Hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy gọi là hình thang vuông.

 

2. Tính chất của hình thang

- Tính chất về góc

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ ( Hai hóc nằm ở vị trí trong cùng của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy) .

Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.

- Tính chất về cạnh

• Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
• Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì chúng bằng nhau và hai cạnh đáy cũng bằng nhau.
• Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

- Đường trung bình: đường nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang 

Đường trung bình của hình thang có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh đáy.

 

3. Các dạng đặc biệt của hình thang

• Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
• Hình thang cân là hình thang có hai cạnh kề một đáy bằng nhau.
• Hình bình hành là hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau và hai cạnh bên song song bằng nhau.
• Hình chữ nhật là hình thang vừa vuông vừa cân.

 

4. Diện tích hình thang

Diện tích hinh thang bằng nửa tích của tổng hai cạnh đáy với chiều cao

S = (a + b) x h/2

Diện tích của hình thang bằng được đường trung bình binh nhân với chiều cao

S = ( a + b) /2 x h

 

5. Chu vi hình thang 

Chu vi hình thang bằng tổng độ dài của hai đáy và hai cạnh bên ( Tất cả các cạnh của nó ):

P = a + b + c + d

 

6. Bài tập áp dụng

* Phân loại bài tập

Dạng 1: Tính số đo góc 

Phương pháp giải : Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc trong một tứ giác kết hợp với kiến thức đã về hình than, hình thang cân, hình thang vuông.

Câu 1. Cho hình thang ABCD có AB // CD,  góc A = 3 góc D, góc B - góc C = 30 độ , tính số đo các góc của hình thang.

Câu 2. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD biết góc A = 2 góc D. Tính các góc của hình thang.

Dạng 2. Chứng minh hinh thang, hình thang cân, hình thang vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.

Câu 1. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao? 

Dạng 3. Sử dụng các tính chất của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông để chứng minh bài toán.

Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất về cạnh và góc của hình thang, hình thang vuông để chứng minh bài toán.

Câu 1. Cho hình thang vuông ABCD có góc A= góc D = 90 độ, AB = CD, DC= 2 AB và BE vuông góc với CD tại E.

a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EDB

b) Chứng minh tam giác BEC vuông cân tại E

Câu 2. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD , AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: 

a) Tam giác AGB cân tại G

b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau

c) FC = FD

* Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình thang ABCD có AB // CD , CD = AD + BC . Gọi K là điểm thuộc đáy CD sao cho KD = AD . Chứng minh :

a) AK là tia phân giác góc A 

b) KC = BC

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4 cm, vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Câu 3. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD

Câu 4. Cho hinh thang ABCD AB // CD có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD. Chứng minh EF vuông góc với AB.

Câu 5. CHo hình thang ABCD vuông tại A và D. Có AB = AD = 3 cm, CD= 6 cm. Tính số đo góc B, góc C.

Câu 6. Cho hình thang ABCD có AB // CD, hai đường phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng độ dài hai cạnh bên bằng độ dài AB của hình thang.

Câu 7. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. TRên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng qua M sang song với CA cắt AB tại I.

a) Tứ giác ACMI là hình gì?

b) AB + AC < AH + BC

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H ket HD vuông góc với AC, HE vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng HB, HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông.

Câu 10. Cho hình thang ABCD có AB // CD . Hai đường phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh AD + BC = DC

Câu 11. Cho tứ giác ABCD vuông tại A và D. Cho biết AD = 20, AC = 52 và BC = 29. Tính độ dài AB 

Câu 12. Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác của góc A, góc D cắt nhau tạin M. Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại N. CHo biết góc AMD bằng 90 độ. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình thang

b) NB vuông góc với NC

Câu 12. Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương của hai đương chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy.

Câu 13. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi M là trung điểm của AD. Cho biết MB vuông góc với MC. 

a) Chứng minh rằng BC = AB + CD

b) Vẽ MH vuông góc với BC. Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.

Câu 14. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE ( D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Câu 15. Cho tam giác ABC  vuông tại A, đường cao AH. TRên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I.

a) Tứ giác ACMI là hình gì?

b) Chứng minh AB + AC < AH + BC

Câu 16. Cho tam giác ABC , các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . Qua I kể đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB và AC tại D và E. 

a) Vẽ hình và tìm các hình thang trong hình vẽ.

b) Chứng minh rằng hình thang BCED có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.

Câu 17. Cho tam giác ABC có BC = 4 cm, các trung tuyến BD, CE. GỌi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE và CD. Gọi giao điểm MN với CE theo thứ tự P, Q.

a) Tính độ dài MN

b) Chứng ming rằng MP = PQ = QN

Câu 18. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE 

a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?

b) Tính các góc của hình thang BEDC, biết góc A bằng 70 độ

c) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE =EC ? 

Câu 19. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.

Câu 20. Cho tam giác cân ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB lấy thứ tự các điểm D, E sao cho AD = AE

a) Chứng minh rằng tứ giác BDEC là hình thang cân

b) Tính các góc của hình thang cân đó biết góc A bằng 50 độ.

>> Xem thêm Hình thoi là gì? Dấu hiệu nhận biết hình thoi?

Trên đây kà toàn bộ bài viết của Luật Minh Khuê về hình thang. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho quý bạn đọc những thông tin hữu ích. Xin trân trọng cảm ơn.