Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của đồ thị
|
Với Các dạng bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
 A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 1. Phương pháp giải. Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f(x) tại điểm M(x0,y0) thuộc đồ thị hàm số. Cho hàm số (C) : y = f(x) và điểm M(x0,y0) ∈ (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M. Bước 1: Tính đạo hàm y'. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là y'(x0). Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = y'(x0)(x - x0) + y0 Lưu ý: - Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì khi đó ta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y0 = f(x0) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải ra x0 - Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C) : y = f(x) và đường thẳng d : y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f(x) có hệ số góc k cho trước. Bước 1: Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. Bước 2: Giả sử M(x0,y0) là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: y'(x0) = k (*) . Bước 3: Giải (*) tìm x0. Suy ra y0 = f(x0) Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k(x - x0) + y0 Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau: - Tiếp tuyến d // Δ : y = ax + b => hệ số góc của tiếp tuyến là k = a - Tiếp tuyến d ⊥ Δ : y = ax + b,(a ≠ 0) => hệ số góc của tiếp tuyến là - Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan α Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA, yA) Cách 1. Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA, yA) hệ số góc k có dạng d : y = k(x - xA) + yA (∗) Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (∗), ta được tiếp tuyến cần tìm. Cách 2. Bước 1. Gọi M(x0, f(x0)) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0) = f'(x0) theo x0 Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = y'(x0)(x - x0) + y0(∗∗). Do điểm A(xA, yA) ∈ d nên yA = y'(x0)(x - x0) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0. Bước 3. Thế x0 vào (∗∗) ta được tiếp tuyến cần tìm. Bài toán 4 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x). Bước 1. Gọi d tiếp tuyến chung của (C1), (C2) và x0 là hoành độ tiếp điểm của d và (C1) thì phương trình d có dạng y = f'(x0)(x - x0) + f(x0) (∗∗∗) Bước 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của d và (C2), tìm được x0 Bước 3. Thế x0 vào (∗∗∗) ta được tiếp tuyến cần tìm. Lưu ý: - Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0,y0) thuộc (C) là: k = y'(x0) - Cho đường thẳng (d) : y = ax + b - Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành. - Cho hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) +) Khi a > 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. +) Khi a < 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất. 2. Công thức tính nhanh. Bài toán 1: Cho hàm số - Nếu Δ ⊥ IM thì chỉ tồn tại 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) đối xứng qua I và - M luôn là trung điểm của AB (với A,B là giao điểm của Δ với 2 tiệm cận). - Diện tích tam giác IAB không đổi với mọi điểm M và - Nếu E,F thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) và E,F đối xứng qua I thì tiếp tuyến tại E,F song song với nhau (suy ra một đường thẳng d đi qua E,F thì đi qua tâm I). Chứng minh: - Ta có - Gọi Ta có: Lại có: - Giao điểm của Δ với tiệm cận ngang là - Giao điểm của Δ với tiệm cận đứng là - Xét Vậy M luôn là trung điểm của AB. Ta có: ΔIAB vuông tại I Vậy diện tích ΔIAB không đổi với mọi điểm M. Ta có: ( E,F đối xứng qua I). - Phương trình tiếp tuyến tại E có hệ số góc: - Phương trình tiếp tuyến tại F có hệ số góc: Từ (1) và (2) suy ra kE = kF . Bài toán 2: Cho hàm số Chứng minh: - Xét hàm số - Gọi B. VÍ DỤ MINH HOẠ. Ví dụ 1.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 - 3 tại điểm H có tung độ bằng 21 có phương trình là: Lời giải Gọi H(x0 ;y0) ta có y0 = 21 nghĩa là x04 + 2x02 - 3 = 21 Giải phương trình Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 40x - 59 và y = -40x - 101. Chọn B. Ví dụ 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x3 - x2 - 7x + 1 tại điểm A(0;1) là A. y = x + 1. B. y = -7x + 1 C. y = 1 D. y = 0 Lời giải Theo giả thiết ta có x0 = 0; y0 = 1 và y' = 9x2 - 2x - 7 → y'(0) = -7 Vậy phương trình tiếp tuyến là y = -7x + 1 Chọn B. Ví dụ 3. Cho hàm số Lời giải - Gọi - Gọi Δ tiếp tuyến của (C) tại M ta có phương trình. - Gọi Δ = Δ ∩ Ox => - Khi đó Δ tạo với hai trục tọa độ ΔOAB có trọng tâm là - Do G thuộc đường thẳng Vì x0 > -1 nên chỉ chọn Chọn A.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) : y = x3 - 2x + 3 tại điểm M(1;2) là: A. y = 2x + 2 . B. y = 3x - 1 C. y = x + 1 D. y = 2 - x Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số A. -1 . B. -3 . C. 3. D. 5. Câu 3. Gọi (C) là đồ thị của hàm số Câu 4. Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 có đồ thị là (C). Trong số các tiếp tuyến của (C), có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng: A. -3,5 . B. -5,5 C. -7,5 D. -9,5 Câu 5. Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d : y = 9x có phương trình: A. y = 9x + 40. B. y = 9x - 40 C. y = 9x + 32. D. y = 9x - 32. Câu 6. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị là (C). Gọi Δ là tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1;5) và B là giao điểm thứ hai của với V. Diện tích tam giác OAB bằng: A. 5. B. 6. C. 12. D. 6√82. Câu 7. Cho hàm số Câu 8. Cho hàm số A. y = -x + 2 hoặc y = -x - 2. B. y = -x + 2 hoặc y = -x - 1. C. y = x + 2 hoặc y = x - 2. D. y = -x + 1 hoặc y = -x - 1. Câu 9. Từ điểm Câu 10. Cho hàm số y = x4 - 2m2x2 + 2m + 1 có đồ thị (C). Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng d : x = 1 song song với đường thẳng Δ : y = -12x + 4 là? A. m = 0 . B. m = 1. C. m = ±2. D. m = 3 Câu 11. Cho hàm số A. b - 2a = 0 B. a - 2b = 0 C. b - 3a = 0 D. a - 3b = 0 Câu 12. Cho hàm số A. 2. B. 1. C. -1. D. 0. Câu 13. Cho hàm số A. (2;4) hoặc (10;28). B. (2;-4) hoặc (10;-28). C. (-2;4) hoặc (-10;28) D. (-2;-4) hoặc (-10;-28). Câu 14. Cho hàm số A. 0. B. 2 C. 3 D. 1 Câu 15. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x - 2 tại điểm D có hoành độ bằng 2 có phương trình là A. y = -9x + 14 . B. y = 9x + 14. C. y = -9x + 22. D. y = 9x + 22 Câu 16. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số A. y = -48x + 192 . B. y = -48x + 160 C. y = -48x - 160. D. y = -48x - 192 Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Câu 19. Cho hàm b y = 2x3 - 3x - 1 có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng x + 21y - 2 = 0 có phương trình là: Câu 20. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 - 4x2 tại giao điểm của đồ thị với trục Ox ? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Câu 21. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): Câu 22. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): Câu 23. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 6x + 1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là A. y = -3x + 2 . B. y = 3x + 2. C. y = -3x + 8. D. y = 3x + 8. Câu 24. Cho hàm số y = -x3 + 6x2 + 3x - 1 có đồ thị (C).Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất có phương trình là A. y = 15x + 55 . B. y = -15x - 5 C. y = 15x - 5. D. y = -15x + 55. Câu 25. Cho hàm số Câu 26. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m+ 1)x + 1 (1), m là tham số. Kí hiệu (Cm) là đồ thị hàm số (1) và K là điểm thuộc (Cm), có hoành độ bằng -1. Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm K song song với đường thẳng d : 3x + y = 0 là Câu 27. Cho hàm số y = 3x - 4x3 có đồ thị (C). Từ điểm M(1;3) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ? A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 28. Cho hàm số y = x3 - x2 + x + 1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là M(-1;-2). Khi đó tọa độ điểm N là A. (-1;-4). B. (2;5). C. (1;2). D. (0;1). Câu 29. Cho hàm số A. y = x + 1 . B. y = x + 4 C. y = x - 4 D. y = x Câu 30. Cho hàm số y = -x4 - x2 + 6 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 36OA có phương trình là: Câu 31. Cho hàm số A. 2. B. 3. C. 4. D. 0. Câu 32. Cho hàm số Câu 33. Cho hàm số A. m = -1 . B. m = -2. C. m = 3. D. m = -5. Câu 34. Cho hàm số A. y = -x - 2 . B. y = -x C. y = -x + 2 D. y = -x + 1 Câu 35. Cho hàm số Câu 36. Cho hàm số A. 3e . B. 2e . C. e . D. 4e . Câu 37. Cho hàm số A. 7. B. 5. C. 6. D. 4. Câu 38. Cho hàm số A. √3 . B. 2√6 . C. 2√3 . D. √6 . Câu 39. Cho hàm số A. 6. B. 4. C. 3. D. 5. Câu 40. Cho hàm số A. (27;28) . B. (28;29). C. (26;27) . D. (29;30) . Đáp án
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp |
