Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuốc (

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { – 2020;\,\,2020} \right)\) để hàm số \(y = \log \left[ {{{\log }_{2020}}\left( {{x^2} + 3{m^2}x + {{2020}^x} – 2m – 2021} \right)} \right]\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(\left( {1;\, + \infty } \right)\)?

A. \(2019\).

B. \(4040\).

C. \(4038\).

D. \(4037\).

Lời giải

Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 0\\{\log _{2020}}\left( {{x^2} + 3{m^2}x + {{2020}^x} – 2m – 2021} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 0\\{x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2021 > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} – 2m – 2022 > 0\).

adsense

Yêu cầu bài toán tương đương \({x^2} + 3{m^2}x + {2020^x} > 2m + 2022,\,\forall x \in \left( {1;\,\, + \infty } \right)\) \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 3{m^2}x + {2020^x},\,\forall x \in \left( {1;\,\, + \infty } \right)\).

Ta có \(f’\left( x \right) = 2x + 3{m^2} + {2020^x}\ln 2020 > 0,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\(\left( * \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(2m + 2022 < f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2m + 2022 < 1 + 3{m^2} + 2020\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} – 2m – 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < \frac{{ – 1}}{3}\end{array} \right.\)

Chọn A.

TXĐ: D=R

Ta có: y'=3x2-6x+3m

Để hàm số đã cho nghịch biến trên 1;2

thì y'≤0, ∀x∈1;2và bằng 0 tại hữu hạn điểm

Hàm số y=x-12 đồng biến trên 1;+∞ nên cũng đồng biến trên 1;2

Lại có m∈-10;10 và m∈Z nên m∈-10;-9;..;0

Vậy có 11 giá trị của m

Chọn B

Ta có:  f'x≤0,∀x∈0;1⇔12x3+121−2m2x2+12m−2m2x+12m≤0,∀x∈0;1

⇔x2x+1−2m2x.x+1+mx+1≤0,∀x∈0;1⇔x+1x2−2m2x+m≤0,∀x∈0;1

Vì x∈0;1⇒x+1>0 nên yêu cầu bài toán ⇔x2−2m2x+m⏟gx≤0,∀x∈0;1. (*)

Xét Δgx'=m4−m

TH1: Δgx'<0, do a=1>0⇒gx>0,∀x∈ℝ (không thỏa mãn).

TH2: Δgx'=0⇔m=1m=0 (không thỏa mãn).

TH3: Δgx'>0⇔m4−m>0⇔m>1m<0

Khi đó gx=0 có 2 nghiệm phân biệt  (giả sử x1

Ta có bảng xét dấu của g(x) như sau:

Theo yêu cầu bài toán ta có g0≤0g1≤0⇔m≤01−2m2+m≤0⇔m≤0m≥1m≤−12⇔m≤−12

Do m∈ℤm∈−20;20 nên ta nhận m∈−20;−19;...;−1. Vậy có tất cả 20 giá trị thỏa mãn.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\)thuộc \(\left[ 0;\,\,5 \right]\) để hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3\left( m+2 \right){{x}^{2}}+3m\left( m+4 \right)x \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\,\,3 \right)\)