Đề bài
Hàm số
\[f\left[ x \right] = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne - 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = - 2} \cr} } \right.\]
Có liên tục trên \[\mathbb R\] không ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính liên tục của hàm số tại x=-2 suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Hàm số f liên tục tại mọi điểm \[x -2\] do khi\[x -2\] thì hàm số là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên khoảng xác định.
Với \[x -2\], ta có:
\[f\left[ x \right] = {{{x^3} + 8} \over {4\left[ {x + 2} \right]}} = {{\left[ {x + 2} \right]\left[ {{x^2} - 2x + 4} \right]} \over {4\left[ {x + 2} \right]}} \] \[= {{{x^2} - 2x + 4} \over 4}\]
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^2} - 2x + 4} \over 4} = 3 \]
\[f\left[ { - 2} \right]=3=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left[ x \right] \]
Vậy hàm số f liên tục tại \[x = -2\], do đó f liên tục trên \[\mathbb R\].