\[\eqalign{ & MA < MI + IA \cr& \Rightarrow MA + MB < MI + IA + MB \cr & \Rightarrow MA + MB < IA + IB{\rm{ \;\;\;\;\; [1]}} \cr} \]
Đề bài
Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: \[MA + MB < IA + IB < CA + CB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong một tam giác độ dài 1 cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại
Lời giải chi tiết
Xét \[\Delta AMI\], theo bất đẳng thức tam giác
\[\eqalign{ & MA < MI + IA \cr& \Rightarrow MA + MB < MI + IA + MB \cr & \Rightarrow MA + MB < IA + IB{\rm{ \;\;\;\;\; [1]}} \cr} \]
Xét \[\Delta {\rm B}{\rm I}C\], ta có \[IB < IC + BC\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow IB + IA < IC + BC + IA \cr & \Rightarrow IB + IA < AC + BC{\rm{ \;\;\;\;\;\;\;\; [2]}} \cr} \]
Từ [1] và [2] ta có \[MA + MB < IA + IB < AC + BC.\]