- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
LG a
\[{x^2} + \left[ {m + 1} \right]x + m - \dfrac{1}{3} = 0;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có biệt thức \[\Delta = {\left[ {m + 1} \right]^2} - 4\left[ {m - \dfrac{1}{3}} \right] = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3}.\]
Xét tam thức \[f\left[ m \right] = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3},\] có \[a = 1\] và biệt thức \[\Delta ' = - \dfrac{4}{3} < 0\] nên \[f[m] > 0\] với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm.
Chú ý: Ta có thể xét
\[\Delta = {\left[ {m + 1} \right]^2} - 4\left[ {m - \dfrac{1}{3}} \right] \]
\[= {\left[ {m - 1} \right]^2} + \dfrac{4}{3} \ge \dfrac{4}{3}.\]
LG b
\[{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x + m - 3 = 0;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\Delta ' = {\left[ {m - 1} \right]^2} - \left[ {m - 3} \right]\]
\[= {\left[ {m - \dfrac{3}{2}} \right]^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\] nên phương trình luôn luôn có nghiệm.
Chú ý : Ta có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để làm bài tập này, học sinh tự làm.
LG c
\[{x^2} + \left[ {m + 2} \right]x + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2} = 0;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\Delta = {\left[ {m + 2} \right]^2} - 4\left[ {\dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2}} \right]\]
\[= {\left[ {m + \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\] nên phương trình này luôn có nghiệm.
LG d
\[\left[ {m - 1} \right]{x^2} + \left[ {3m - 2} \right]x + 3 - 2m = 0.\]
Lời giải chi tiết:
*] Nếu \[m = 1\] phương trình có nghiệm \[x = -1.\]
*] Nếu \[m 1\] ta có
\[\begin{array}{l}\Delta = {\left[ {3m - 2} \right]^2} - 4\left[ {m - 1} \right]\left[ {3 - 2m} \right]\\ = 17{m^2} - 32m + 16\\ = {m^2} + 16{\left[ {m - 1} \right]^2} > 0,\end{array}\]
Nên phương trình luôn có nghiệm.
Tóm lại với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.