Phương trình đường tròn trong mặt phẳng Oxy

Lý thuyết và bài tập phương trình đường tròn trong không gian Oxyz được tổng hợp bởi DINHNGHIA.VN, cùng tìm hiểu nhé!

Đường tròn trong không gian Oxyz

Đường tròn (C) trong không gian Oxyz là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).

Mặt cầu (S) có phương trình \((x – a)^2 + (y – b)^2+ (z – c)^2 = R^2\) với tâm I(a,b,c) và bán kính R.

Xem thêm >>> Viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz

Mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0

Xem thêm >>> Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu trong không gian: Gọi d(I(P)) là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phảng (P). Ta có các trường hợp sau:

• d (I, (P)) > R  thì (S) và (P) không có điểm chung
• d (I,(P)) = R thì (S) và (P) tiếp xúc với nhau.
• d (I,(P)) < R thì (S) cắt (P) theo đường tròn có tâm là hình chiếu của I xuống (P), bán kính \(r=\sqrt{R^2-d^2}\)

Khi đó phương trình đường tròn trong không gian có dạng:

\(\left\{\begin{matrix} Ax + By + Cz + D = 0 & \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 & \end{matrix}\right.\)

Với \(\frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} +B^{2} + C^{2}}} < R\)

Ví dụ phương trình đường tròn trong không gian

Ví dụ 1: Cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2 + y^2 + x^2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0\), mặt phẳng (P) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0.

Khi đó phương trình đường tròn tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có dạng

\(\left\{\begin{matrix} 2x – 2y – z + 9 = 0 & \\ x^2 + y^2 + x^2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0 & \end{matrix}\right.\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 1 = 0 và mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + x^2 – 6x + 4y – 2z – 11 = 0\). Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) tìm tọa độ tâm của (C).

Giải: Ta có mặt cầu (S) có tâm I(3,2,1) và bán kính R = 5.

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là \(d(I, (P)) = \frac{\left | 6.3 + 3.2 -2.1 -1 \right |}{\sqrt{6^{2} + 3^{2} + (-2)^{2}}} = 3 < R\)

Do đó (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C).

Tâm của (C ) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P). Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình là:

\(\frac{x – 3}{6} = \frac{y – 2}{3} = \frac{z – 1}{-2}\)

Do \(H \epsilon d\) nên H (3 + 6t; 2 +3t; 1 – 2t)

Ta có \(H \epsilon (P) \Rightarrow\)

6.(3 + 6t) + 3.(2 + 3t) – 2.(1 – 2t) – 1 = 0

\(\Leftrightarrow t = \frac{-3}{7}\)

Do đó: tọa độ tâm của (C) là \(H(\frac{3}{7},\frac{5}{7},\frac{13}{7})\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay đóng góp cho bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha <3

Please follow and like us:

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Viết phương trình đường tròn: Viết phương trình đường tròn. Phương pháp giải. Cách 1: Tìm toạ độ tâm I(a; b) của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng. Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C). Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). (C) tiếp xúc với đường thẳng A tại IA = d(I) = R. (C) tiếp xúc với hai đường thẳng A và A. Các ví dụ. Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn trong môi trường hợp sau: a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0; 0). b) Nhận AB làm đường kính với A(1; 1), B(7; 5). c) Đi qua ba điểm: M(-2, 4), P(6; -2). Lời giải: a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI = 1 + 5 = V26 nên có phương trình là (x – 1) + (y + 5) = 26. b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra (4; 3). Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I(4; 3) làm tâm và bán kính R = AI = 13 nên có phương trình là (1 – 4) + (y – 3) = 13. c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: a + 2 – 43 – 29 – 20 = 0. Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau: Gọi I (c; g) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng A: 1 – 2 + 7 = 0. b) (C) đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Og. c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: 0 – 6g – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d: 32 + 4y + 5 = 0 và d : 40 – 34 – 5 = 0. Lời giải: a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ 1 tới đường thẳng A nên phương trình đường tròn (C). b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I(R; -3) trong đó R là bán kính đường tròn (C). Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K. a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d, nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình. Ví dụ 3: Cho hai điểm A(3; 0) và B(0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra bán kính R = IA = (8 – 4) + (0 – 3) = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là 25. b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB mặt khác vì cùng bằng diện tích tam giác ABC dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là 4. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: V30 + y = 0, và d. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc d với d’ tại A, cắt d tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. d. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.

Trong mặt phẳng (Oxy ), tìm phương trình đường tròn (( (C') ) ) là ảnh của đường tròn (( C ) ): ((x^2) + (y^2) = 1 ) qua phép đối xứng tâm (I( (1; ;0) ) ).

Câu 48589 Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).

Đáp án đúng: c

Phương pháp giải

Tìm tâm và bán kính đường tròn mới qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;0} \right)\)

...