Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0 pi của phương trình 2 cos bình 5 x + 3 cos 5 x trừ 5 bằng 0 là)

Đề bài

Phương trình \(2\tan x – 2 \cot x – 3 = 0\) có số nghiệm thuộc khoảng \(({{ - \pi } \over 2},\pi )\) là:

A. \(1\)            B. \(2\)            C. \(3\)            D. \(4\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

B1: Đưa về phương trình bậc hai của tanx bằng công thức \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\).

B2: Giải PT lượng giác , lấy các nghiệm thuộc khoảng \(({{ - \pi } \over 2},\pi )\) và KL.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{& 2\tan x - 2\cot x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\tan x - {2 \over {\tan x}} - 3 = 0 \cr & \Rightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{\tan x = 2 \hfill \cr 

\tan x = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vẽ đường tròn lượng giác với giá trị \(tanx = 2\), \(\tan x = {{ - 1} \over 2}\) ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng \(({{ - \pi } \over 2},\pi )\).

Cách khác:

\(\left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi

\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} + ) - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan 2 < k\pi < \pi - \arctan 2\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,85 < k < 0,65\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow x = \arctan 2\\ + ) - \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) < k\pi < \pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,35 < k < 1,15\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\}

\end{array}\)

Vậy có ba nghiệm cần tìm.

Chọn đáp án C.

Loigiaihay.com