Đề bài
Cho elip \[\displaystyle [E]: x^2+ 4y^2= 1\] và cho các mệnh đề:
[I]: \[\displaystyle [E]\] có trục lớn bằng \[\displaystyle 1\]
[II] \[\displaystyle [E]\] có trục nhỏ bằng \[\displaystyle 4\]
[III] \[\displaystyle [E]\] có tiêu điểm \[\displaystyle {F_1}[0; \, {{\sqrt 3 } \over 2}]\]
[IV] \[\displaystyle [E]\] có tiêu cự bằng \[\displaystyle \sqrt3\].
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A. [I] B. [II] và [IV]
C. [I] và [III] D. [IV]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Elip:
\[\eqalign{
& {x^2} + 4{y^2} = 1 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 1} + {{{y^2}} \over {{1 \over 4}}} = 1 \cr
& {a^2} = 1;{b^2} = {1 \over 4},{c^2} = {a^2} - {b^2} = {3 \over 4}\cr& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = {1 \over 2} \hfill \cr
c = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
+] Độ dài trục lớn \[2a = 2\] nên [I] sai
+] Độ dài trục nhỏ \[2b = 1\] nên [II] sai
+] Tiêu cự \[2c = \sqrt3\] nên [IV] đúng
+] Tiêu điểm \[{F_1}[ - {{\sqrt 3 } \over 2};0]\] \[{F_2}[{{\sqrt 3 } \over 2}; \, 0]\] nên [III] sai.
Vậy chỉ có mệnh đề [IV] đúng.
Vậy chọn D.