Đề bài
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+] Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Xét hình thoi \[ABCD\], gọi \[ E, F, G, H\] lần lượt là trung điểm của \[ AB, BC, CD, AD\].
Ta có: \[EB = EA, FB = FC\] [giả thiết ]
nên \[EF\] là đường trung bình của \[ABC\] [dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác ]
\[ \Rightarrow \]\[EF // AC,EF=\dfrac{AC}2\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Do \[HD = HA, GD = GC\] [giả thiết ]
\[ \Rightarrow \]\[HG\] là đường trung bình của \[ADC\][dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác ]
\[ \Rightarrow \]\[HG // AC,HG=\dfrac{AC}2\][tính chấtđường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow \]\[EF // HG\] [cùng // \[AC\]] và \[ EF=HG\,[=\dfrac{AC}2]\]
Suy ra \[EFGH\] là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết hình bình hành]
Ta có: \[EB = EA, AH = HD\] [giả thiết ]
nên \[EH\] là đường trung bình của \[ABD\] [dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác ]
\[ \Rightarrow \]\[EH // BD\] [tính chấtđường trung bình của tam giác]
Ta có \[EF // AC\] [chứng minh trên] và \[BD AC\] [tính chất hình thoi \[ABCD\]]
\[ \Rightarrow \]\[BD EF\]
Mà \[EH // BD\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \]\[EF EH\]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat{FEH} = 90^0\]
Hình bình hành \[EFGH\] có\[\widehat{E} = 90^0\]nên là hình chữ nhật [dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật]