Đề bài
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số \[y = {x^{3}}\]tại điểm \[x\] tùy ý.
Dự đoán đạo hàm của hàm số \[y = {x^{100}}\]tại điểm \[x\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính \[Δy\].
- Tính \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}}\] suy ra đạo hàm.
Lời giải chi tiết
- Giả sử \[Δx\] là số gia của đối số tại \[\x_0]bất kỳ. Ta có:
\[\eqalign{
& \Delta y = f[{x_0} + \Delta x] - f[{x_0}] \cr
& = {[{x_0} + \Delta x]^3} - {x_0}^3 = 3{x_0}^2\Delta x + 3{x_0}{[\Delta x]^2} + {[\Delta x]^3} \cr
& \Rightarrow y'[{x_0}] = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [3{x_0}^2 + 3{x_0}\Delta x + {[\Delta x]^2}] = 3{x_0}^2 \cr} \]
- Dự đoán đạo hàm của \[y = {x^{100}}\]tại điểm \[x\] là \[y = 100{x^{99}}\]