Đề bài
Gọi [C] là đồ thị của hàm số
\[y = f\left[ x \right] =- {x^4} + 2{x^2} + x\]
Chứng minh rằng, tiếp tuyến của [C] tại điểm A[-1;0] cũng là tiếp tuyến của [C] tại một điểm khác. Tìm các tọa độ của tiếp điểm đó.
Lời giải chi tiết
Trước hết ta hãy viết phương trình tiếp tuyến của [C] tại tiếp điểm \[A\left[ { - 1;0} \right]\]
Ta có
\[f'\left[ x \right] = - 4{x^3} + 4x + 1\left[ {\forall x \in R} \right].\]
Với\[{x_0} = - 1,f\left[ {{x_0}} \right] = 0\]thì\[f'\left[ {{x_0}} \right] = 1\], do đó phương trình tiếp tuyến phải tìm là
\[y = x + 1.\,\,\,\,[T]\]
Để tiếp tuyến [T] cũng là một tiếp tuyến của [C] tại một điểm\[B\left[ {{x_1};f\left[ {{x_1}} \right]} \right]\]khác điểm\[A\left[ { - 1;0} \right]\] thì điều kiện cần và đủ là [T] phải cát đồ thị [C] tại B [tức là ta phải có \[f\left[ x \right] = x + 1\] ] đồng thời hệ số góc của tiếp tuyến tại B phải bằng hệ số góc của tiếp tuyến [T] [tức là ta phải có \[f'\left[ x \right] = 1\] ]. Tóm lại ta phải giải hệ thống phương trình
\[\left\{ \matrix{f\left[ x \right] = x + 1 \hfill \cr f'\left[ x \right] = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- {x^4} + 2{x^2} + x = x + 1 \hfill \cr- 4{x^3} + 4x + 1 = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\left[ * \right]\]
Nghiệm của hệ thống này chính là hoành độ các tiếp tuyến của [T] với đồ thị [C].
Giải hệ [*], ta được \[x = \pm 1\]
Với \[{x_0} = - 1\], ta được tiếp điểm \[A\left[ { - 1;0} \right]\]
Với \[{x_0} = 1\], ta được tiếp điểm \[B\left[ {1;2} \right]\]
Vậy đường thẳng \[y = x + 1\] vừa là tiếp tuyến của [C] tại điểm \[A\left[ { - 1;0} \right]\], vừa là tiếp tuyến của [C] tại tiếp điểm \[B\left[ {1;2} \right] \ne A\left[ { - 1;0} \right].\]