Đề bài
Tam giác\[\displaystyleABC\] có\[\displaystyleBC = 10cm,\]các đường trung tuyến\[\displaystyleBD\]và\[\displaystyleCE.\]Chứng minh rằng\[\displaystyleBD + CE > 15cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
+] Sử dụng tính chất: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại
Lời giải chi tiết
Gọi\[\displaystyleG\]là giao điểm của\[\displaystyle2\]đường trung tuyến\[\displaystyleBD\]và\[\displaystyleCE.\] Suy ra\[\displaystyleG\] là trọng tâm tam giác\[\displaystyleABC.\]
Trong\[\displaystyleGBC\]ta có:
+] \[\displaystyleGB = {2 \over 3}B{\rm{D}}\][tính chất ba đường trung tuyến]
+]\[\displaystyleGC = {2 \over 3}CE\][tính chất đường trung tuyến]
+]\[\displaystyleBC = 10cm\][gt]
Mà\[\displaystyleGB + GC > BC\][bất đẳng thức tam giác]
Suy ra:\[\displaystyle{2 \over 3}\left[ {B{\rm{D}} + CE} \right] > 10 \]
\[\displaystyle\Rightarrow B{\rm{D}} + CE > 10:{2 \over 3} = 10.{3 \over 2} = 15\]
Vây\[\displaystyleBD + CE > 15 [cm]\]