Cho biết\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left[ x \right]} \over x} = A\]và\[f\left[ 0 \right] = 0.\]Chứng minh rằng\[A = f'\left[ 0 \right].\]
Đề bài
Cho biết\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left[ x \right]} \over x} = A\]và\[f\left[ 0 \right] = 0.\]Chứng minh rằng\[A = f'\left[ 0 \right].\]
Lời giải chi tiết
Theo định nghĩa, ta có
\[f'\left[ 0 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left[ x \right] - f\left[ 0 \right]} \over {x - 0}}\]
Vì \[f\left[ 0 \right] = 0\] nên
\[f'\left[ 0 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left[ x \right]} \over x} = A\]