- LG a
- LG b
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:
LG a
\[sinA = cosB + cosC\] thì ΔABC vuông
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[A + B + C = {180^0}\]
\[ \Rightarrow \cos \frac{{B + C}}{2} = \cos \frac{{{{180}^0} - A}}{2}\] \[ = \cos \left[ {{{90}^0} - \frac{A}{2}} \right] = \sin \frac{A}{2}\]
Khi đó:
\[\eqalign{
& sin A= cosB + cosC\cr& \Rightarrow2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}[cos{A \over 2} - \cos {{B - C} \over 2}] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2}\cr &[\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ] \cr} \]
Nhưng: \[0 < {A \over 2} < {\pi \over 2};|{{B - C} \over 2}|\, < {\pi \over 2}\], nên:
\[\cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B - C} \over 2}|\]
\[\Leftrightarrow A = |B - C|\]
+ Nếu B > C thì A = B C.
\[ \Rightarrow B = A + C \Rightarrow A + B + C = {180^0} \] \[\Leftrightarrow 2B = {180^0} \Rightarrow B = {90^0}\]
+ Nếu B < C thì A = C B. Suy ra:\[C = 90^0\].
LG b
\[sinA = 2sinB.cosC\] thì ΔABC cân
Lời giải chi tiết:
\[sinA = 2sinB.cosC \]
\[ sin A = sin [B + C] + sin [B C]\]
\[ sin A = sin[180^0 A] + sin[B C] \]
\[ \Leftrightarrow \sin A = \sin A + \sin \left[ {B - C} \right]\]
\[ sin[B C] = 0\]
Vì \[0 |B C| π\], nên \[B C = 0\]\[ \Leftrightarrow B = C\]
Vậy tam giác ABC cân tại A.