Đề bài
Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:
\[x^2+ x + a = 0\] và \[x^2+ ax + 1 = 0\]
Lời giải chi tiết
Giả sử \[{x_0}\]là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:
\[{x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] [1]
\[{x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\] [2]
Lấy [1] trừ [2] ta có:
\[[1 - a]{x_0} + a - 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow [1 - a][{x_0} - 1] = 0 \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
{x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\]
+] Với \[{x_0}= 1 \] thay vào [1] ta được: \[ {1^2} + 1 + a = 0 \Leftrightarrow a = - 2\]
Khi đó, hai phương trình \[{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]và \[{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]có nghiệm chung là \[x = 1\]
+] Với \[a = 1\] thì \[{x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\][vô nghiệm]
Vậy \[a = -2\].