Đề bài
Tìm m để bất phương trình sau:
[m 1]x2 2[m + 1]x + 3[m 2] > 0
nghiệm đúng với mọi x R
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chia thành hai trường hợp a=0 và a \[\ne 0\]
TH a\[\ne 0\] thì sử dụng lý thuyết tam thức bậc hai
\[f\left[ x \right] > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
+ Với m = 1, ta có: -4x 3 > 0
Không nghiệm đúng với mọi x R
+ Với m 1, ta đặt \[f\left[ x \right] = \left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + 3\left[ {m - 2} \right]\]
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x \[\Leftrightarrow f\left[ x \right] > 0,\forall x\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr
\Delta '< 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {[m + 1]^2} - 3[m - 2][m - 1] < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} + 2m + 1 - 3\left[ {{m^2} - 3m + 2} \right] < 0\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m > 1 \hfill \cr - 2{m^2} + 11m - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m > 1 \hfill \cr \left[ \matrix{m < {1 \over 2} \hfill \cr m > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\left[ {VN} \right]\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m > 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 5\]
Vậy với m > 5 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x R