Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\], nội tiếp đường tròn [O].Đường cao \[AH\] cắt đường tròn ở \[D\].
a]Vì sao \[AD\] là đường kính của đường tròn [O]?
b]Tính số đo góc \[ACD\].
c]Cho \[BC = 24cm\], \[AC = 20cm\]. Tính đường cao \[AH\] và bán kính đường tròn [O].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Đường tròn là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi [\[R>0\]], O gọi là tâm và R là bán kính.
+ Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH:
- Áp dụng định lí Pytago:\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông:\[A{C^2} = AH.BC\]
Lời giải chi tiết
a] Tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[AH\] là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của \[BC\].
Vì \[O\] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] nên \[O\] nằm trên đường trung trực của \[BC\] hay \[O\] thuộc \[AD\].
Suy ra \[AD\] là đường kính của [O].
b]Tam giác \[ACD\] nội tiếp trong [O] có \[AD\] là đường kính nên suy ra \[\widehat {ACD} = 90^\circ \]
c]Ta có:
\[AH\] là đường trung trực của \[BC\] [cmt] nên \[H\] là trung điểm cạnh BC.
\[\Rightarrow HB = HC = \dfrac{{BC}}{2}\]\[ = \dfrac{{24}}{2} = 12\,[cm]\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH ta có:
\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} \cr
& = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 \cr} \]
\[AH = 16\,[cm]\]
Tam giác \[ACD\] vuông tại \[C,\] theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[\eqalign{
& A{C^2} = AH.AD \cr
& \Rightarrow AD = {{A{C^2}} \over {AH}} = {{{{20}^2}} \over {16}} = 25\,[cm] \cr} \]
Vậy bán kính của đường tròn [O] là :
\[R = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{25}}{ 2} = 12,5\,[cm]\]
Loigiahay.com