Đề bài
Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại \[A\] có cạnh đáy \[AB\] bằng \[6cm\], cạnh bên \[AD\] bằng \[4cm\] và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh \[DC, CB\] và đường chéo \[DB\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Khi đó ta có các hệ thức sau:
+] \[A{B^2} = BH.BC\]
+] \[A{C^2} = CH.BC\]
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] ta có:
\[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\]
Lời giải chi tiết
Hai đường chéo \[AC, BD\] cắt nhau tại \[H\]. Trong tam giác vuông \[ABD\], ta có:
\[\dfrac{{HD}}{{HB}} =\dfrac{{HD.BD}}{{HB.BD}} = \dfrac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} \]\[= \dfrac{{{4^2}}}{{{6^2}}} = \dfrac{4}{9}.\]
Ta có \[HDC \backsim HBA\] [do\[\widehat {DHC} = \widehat {AHB} = {90^0};\,\widehat {ACD} = \widehat {CAB}\][so le trong]] nên
\[\dfrac{{DC}}{{AB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{4}{9}\]
Suy ra \[DC =\dfrac{4}{9}.AB= \dfrac{4}{9}.6 = \dfrac{8 }{3}\left[ {cm} \right]\]
Kẻ đường cao \[CK\] của tam giác \[ABC\], suy ra \[ADCK\] là hình chữ nhật [vì có ba góc vuông] nên \[DC=KA;AD=KC\] [tính chất]
Suy ra \[KB = AB-KA=AB-DC\]\[ = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{{10}}{3}.\]
Từ đó theo định lý Pytago cho tam giác vuông \[KBC\] ta có:
\[B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2}\]\[ = \dfrac{{100}}{ 9} + 16 = \dfrac{{244}}{9}\]suy ra \[BC = \dfrac{{\sqrt {244} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt {61} }}{3}\left[ {cm} \right]\]
Tam giác vuông \[ABD,\] theo định lý Pytago ta có: \[D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} \]\[= {6^2} + {4^2} = 52\], từ đó \[DB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \left[ {cm} \right]\]