Đề bài
Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị hàm số
\[y = {1 \over 2}\sqrt {x - 4{x^2}} \,\,\,\,[C]\]
Cắt trục tung tại một điểm cách đều tiếp điểm và gốc tọa độ.
Lời giải chi tiết
Để hàm số có đạo hàm thì ta phải có
\[x - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < {1 \over 4}.\]
Với điều kiện \[0 < x < {1 \over 4},\] ta có
\[y' = {{1 - 8x} \over {4\sqrt {x - 4{x^2}} }}.\]
Gọi \[{M_0}\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là một điểm tuy ý thuộc đồ thị[C] ; ta có \[{y_0} = {1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2,} \] \[y' = {{1 - 8{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại \[{M_0}\left[ {{x_0},{y_0}} \right]\] là
\[y = {{1 - 8{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}\left[ {x - {x_0}} \right] + {1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} \]
Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm T có tung độ là
\[\eqalign{& {y_T} = {{1 - 8{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}\left[ {0 - {x_0}} \right] + {1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} \cr& \,\,\,\,\, = {{\left[ {1 - 8{x_0}} \right]\left[ { - {x_0}} \right] + 2\left[ {{x_0} - 4x_0^2} \right]} \over {\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}\cr& = {{{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }} > 0 \cr} \]
Khoảng cách \[T{M_0}\] được tính bởi công thức
\[\eqalign{ T{M_0} &= {\left[ {{x_0} - 0} \right]^2} \cr&+ {\left[ {{1 \over 2}\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} - {{{x_0}} \over {\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}} \right]^2} \cr& = x_0^2{\left[ {{{2\left[ {{x_0} - 4x_0^2} \right] - {x_0}} \over {\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }}} \right]^2} \cr&= x_0^2 + {{{{\left[ {{x_0} - 8x_0^2} \right]}^2}} \over {16\left[ {{x_0} - 4x_0^2} \right]}} \cr& = {{16x_0^3 - 64x_0^4 + x_0^2 - 16x_0^3 + 64x_0^4} \over {16\left[ {{x_0} - 4x_0^2} \right]}}\cr& = {{x_0^2} \over {16\left[ {{x_0} - 4x_0^2} \right]}} \cr} \]
Vậy
\[\left| {T{M_0}} \right| = {{{x_0}} \over {4\sqrt {{x_0} - 4x_0^2} }} = \left| {TO} \right| = {y_T}\]
Điều này chứng tỏ, điểm T cách đều tiếp điểm \[{M_0}\] và gốc tọa độ O.
Chú ý: Có thể chứng minh bào toán này bằng phương pháp hình học như sau:
Với \[0 \le x{1 \over 4}\] thì \[y \ge 0\] ta có
\[\eqalign{& y = {1 \over 2}\sqrt {x - 4{x^2}} \Leftrightarrow 4{y^2} + 4{x^2} - x = 0\cr& \Leftrightarrow {x^2} + {x \over 4} + {y^2} = 0 \cr& \Leftrightarrow {\left[ {x - {1 \over 8}} \right]^2} + {y^2} = {\left[ {{1 \over 8}} \right]^2} \cr} \]
Vậy đồ thị [C] là phần đường tròn thuộc góc phần tư thứ nhất [vì \[x \ge 0\] và \[y \ge 0\]] tâm \[I\left[ {{1 \over 8};0} \right]\], bán kính \[R = {1 \over 8}\] [h.5.6]
Áp dụng tính chất: từ một điểm T ngoài đường tròn, kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là \[TM_0\] và TO và ta có \[|TM_0|=|TO|\] [đpcm].