Bài tập giá trị lượng giác của một góc
Show
Ví dụVí dụ : Cho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau : cos $\left( {\alpha – \frac{\pi }{2}} \right)$ Giải$\begin{array}{l} Lưu ý: $\pi = {180^0}$ Bài tập thực hànhCho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ . Xác định dấu của giá trị lượng giác sau : a) sin $\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)$ b) tan $\left( {\frac{{3\pi }}{2} – \alpha } \right)$ c) cot$\left( {\alpha + \pi } \right)$ DẠNG 2. Chứng minh các hằng đẳng thức lượng giác.Ví dụCho ${{{90}^0} < \alpha < {{180}^0}}$. CMR: $\frac{{1 + {{\sin }^4}\alpha – {{\cos }^4}\alpha }}{{1 – {{\sin }^6}\alpha – {{\cos }^6}\alpha }} = \frac{2}{{3{{\cos }^2}\alpha }}$ GiảiDo: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ Ta có: $\begin{array}{*{20}{l}} {VT = \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^3} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^3}} \right)}}}\\ \begin{array}{l} = \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha – {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)}}\\ = = \frac{{1 – {{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{1 – \left[ {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} – 3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right]}} \end{array}\\ { = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{1 – \left( {1 – 3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right)}}}\\ { = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{3{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}}\\ { = \frac{2}{{3{{\cos }^2}\alpha }} = VP} \end{array}$ Ví dụ 2Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: \(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\). Giải $ =2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)$ $=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)$ $=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)$ $=-1$ Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x Dạng 3. Tính giá trị biểu thức lượng giácVí dụTính giá trị của biểu thức: $A = \frac{{11tan\alpha – 5cot\alpha }}{{34tan\alpha + 2cot\alpha }}$ biết \(sin\alpha=\frac{1}{4}\). Giải $ = \frac{{11\frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} – 5\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}}}{{34\frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} + 2\frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}}}$ $ = \frac{{11si{n^2}\alpha – 5co{s^2}\alpha }}{{34si{n^2}\alpha + 2co{s^2}\alpha }}$ $ = \frac{{16si{n^2}\alpha – 5}}{{36si{n^2}\alpha + 2}}$$ = \frac{{16.{{(0,25)}^2} – 5}}{{32.{{(0,25)}^2} + 2}} = – 1$ Bài tập thực hànhBài 1. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. CMR: $a)\text{ }{{\left( sinx\text{ }+\text{ }cosx \right)}^{2}}=\text{ }1\text{ }+\text{ }2sinx.cosx$ $b)\text{ }{{\left( sinx\text{ }\text{ }cosx \right)}^{2}}=\text{ }1\text{ }\text{ }2sinx.cosx$ $c)\text{ }si{{n}^{4}}x\text{ }+\text{ }co{{s}^{4}}x\text{ }=\text{ }1\text{ }\text{ }2si{{n}^{2}}x\text{ }co{{s}^{2}}x$ $d)\text{ }sinxcosx\left( 1\text{ }+\text{ }\tan x \right)\left( 1\text{ }+\text{ }cotx \right)\text{ }=\text{ }1\text{ }+\text{ }2sinx\text{ }.\text{ }cosx$ . Bài 2. Áp dụng công thức lượng giác cơ bản. Chứng minh các đẳng thức sau: a) $\frac{1}{1+\tan \alpha }+\frac{1}{1+\cot \alpha }=1$ b) $si{{n}^{4}}x\text{ }\text{ }co{{s}^{4}}x\text{ }=\text{ }2si{{n}^{2}}x\text{ }\text{ }1$ c) $\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\tan }^{2}}x\text{ }+\text{ }co{{t}^{2}}x\text{ }+\text{ }2$ d) $\frac{1+{{\sin }^{2}}\alpha }{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=1+2{{\tan }^{2}}\alpha $ e) $co{{s}^{2}}\alpha \text{ }\text{ }co{{s}^{2}}b=\text{ }si{{n}^{2}}b-\text{ }si{{n}^{2}}\alpha \text{ }=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }+\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\beta }$. DẠNG 3. Cho một giá trị LG, tính các giá trị lượng giác còn lại.Ví dụBiết rằng ${{{90}^0} < \alpha < {{180}^0}}$ và sinα = 0,6. Tính cosα và tanα. Giải Do: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ $ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = 1 – {(0,6)^2} = 0,64$ $ \Rightarrow \cos \alpha = \pm 0,8$ Do: ${90^0} < \alpha < {180^0}$ $ \Rightarrow \cos \alpha = – 0,8$ *$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = \frac{2}{3}$ Bài tập thực hànhBài 1. Tính
Bài 2. Cho ${{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}$. Hãy tính sinα, tanα nếu: a) $\cos \alpha =\frac{12}{13}$ b) $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ Bài 3. Biết rằng $sin\text{ }{{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Tính tỉ số lượng giác của góc 15o . Bài 4. Cho ${{90}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}}$ và $tan\text{ }a=\text{ }-2$. Tính: $A=\frac{2\sin a+5\cos a}{4\cos a-3\sin a}$ $B=\frac{3{{\sin }^{2}}a-4{{\cos }^{2}}a}{5{{\cos }^{2}}a+3{{\sin }^{2}}a}$ $D=\frac{3\sin a-4{{\cos }^{2}}a}{\cos a+5{{\sin }^{2}}a}$ $E=\frac{2{{\sin }^{2}}a-3\cos a}{5{{\cos }^{2}}a+\sin a}$ DẠNG 4. Rút gọn biểu thứcVí dụ:Cho ${0^0} < \alpha < {180^0}$. $CMR:\frac{{1 + {{\sin }^4}\alpha – {{\cos }^4}\alpha }}{{1 – {{\sin }^4}\alpha – {{\cos }^4}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha $ Giải $\begin{array}{l} VT = \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^4} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^4}} \right)}}\\ = \frac{{1 + \left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)}}{{1 – \left( {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) – 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right)}}\\ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + (1 – {{\cos }^2}\alpha )}}{{1 – \left( {1 – 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \right)}}\\ = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = VP \end{array}$ Chú ý: Ta có thể chứng minh hai vế cùng bằng biểu thức thứ 3. Bài tập thực hànhBài 1.Tính a) $A=co{{s}^{2}}{{12}^{o}}+\text{ }co{{s}^{2}}{{78}^{o}}+\text{ }co{{s}^{2}}{{1}^{o}}+\text{ }co{{s}^{2}}{{89}^{o}}$ b) $B=si{{n}^{2}}{{3}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{15}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{75}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{87}^{o}}$ . Bài 2. Tính $A={{\sin }^{2}}{{30}^{0}}+{{\cos }^{2}}{{60}^{0}}$ `$B=\tan {{30}^{0}}\cot {{12}^{0}}+2\sin {{135}^{0}}-3\cos {{45}^{0}}+2\sin {{75}^{0}}$ $ P=si{{n}^{2}}{{10}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{20}^{o}}+~si{{n}^{2}}{{30}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{80}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{70}^{o}}+\text{ }si{{n}^{2}}{{60}^{o}}$ Bài 3. Cho ${{90}^{0}}<\alpha <{{180}^{0}}$. Đơn giản các biểu thức: $A=si{{n}^{6}}x\text{ }+\text{ }3si{{n}^{4}}x.co{{s}^{2}}x\text{ }+\text{ }3si{{n}^{2}}x.co{{s}^{4}}x\text{ }+\text{ }co{{s}^{6}}x$. $M=\left( 1\text{ }+\text{ }cos\alpha \right)\left( 1\text{ }\text{ }cos\alpha \right)\text{ }\text{ }si{{n}^{2}}\alpha $ với ${{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}$. $P\text{ }=\text{ }cosy\text{ }+\text{ }siny.\tan y$ $Q=\sqrt{1+\cos b}\sqrt{1-\cos b}$ $D=\sin a\sqrt{1+{{\tan }^{2}}a}$ $E\text{ }=\text{ }sin\left( {{90}^{o}}\text{ }x \right)sin\left( {{180}^{o}}\text{ }x \right)$ $F=\text{ }cos\left( {{90}^{o}}\text{ }x \right)cos\left( {{180}^{o}}\text{ }x \right)$ DẠNG 5. TÌM GTLN-NN CỦA BIỂU THỨCVí dụ:Cho ${0^0} < \alpha < {180^0}$. Tìm GTLN-NN của biểu thức: $P = \sqrt {1 – 3{{\cos }^2}\alpha } $ Giải Do: $\begin{array}{l} {0^0} \le \alpha \le {180^0}\\ \Rightarrow 0 \le {\cos ^2}\alpha \le 1\\ \Leftrightarrow 0 \le 3{\cos ^2}\alpha \le 3\\ \Leftrightarrow 1 \le 1 + 3{\cos ^2}\alpha \le 4\\ \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {1 + 3{{\cos }^2}\alpha } \le 2\\ \Leftrightarrow 1 \le P \le 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} *P = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = {90^0}\\ *P = 2 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \pm 1 \Rightarrow \alpha = {90^0};\alpha = {180^0} \end{array}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {MaxP}\limits_{{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} = 2 \Leftrightarrow \alpha = {0^0};\alpha = {{180}^0}}\\ {\mathop {MinP}\limits_{{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} = 1 \Leftrightarrow \alpha = {{90}^0}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right.$ Bài tập thực hànhBài 1. Tìm Max, min của: $A=3{{\sin }^{2}}a+5{{\cos }^{2}}a+1;\left( {{0}^{0}}\le a\le {{180}^{0}} \right)$ Bài 2. Tìm Max, min của: $b=\sqrt{1+3{{\cos }^{2}}a};\left( {{0}^{0}}\le a\le {{180}^{0}} \right)$ DẠNG 6. SO SÁNHVí dụ:So sánh $\cos {99^0}1’$ và $\sin {1^0}59’$ GiảiTa có: ${180^0} < {99^0}1′ < {90^0} = > \cos {99^0}1′ < 0$ Tương tự: ${0^0} < {1^0}59′ < {90^0} \Rightarrow \sin {1^0}59′ > 0$ $ \Rightarrow \sin {1^0}59′ > \cos {99^0}1’$ Bài tập thực hành1. $tan\text{ }{{36}^{0}}1’$ và $tan\text{ }{{36}^{0}}2’$ 2. $\text{cot 9}{{\text{9}}^{0}}1’$ và $\text{cot }{{99}^{0}}2’$ 3.$\sin {{58}^{0}}32’15.16”$ và $\sin {{58}^{0}}32’16.16”$ 4. $\cos {{58}^{0}}32’15.16”$và $\cos {{58}^{0}}32’17.16”$ ——————– |