Đề bài
Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác:
+] Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Sử dụng tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Giả sử hình thang \[ABCD\] có \[AB // CD,\] \[AB < CD.\]
\[I, K\] lần lượt là trung điểm hai đường chéo \[BD, AC\]
Gọi \[F\] là trung điểm của \[BC\]
Trong tam giác \[ACB\] ta có:
\[K\] là trung điểm của cạnh \[AC\]
\[F\] là trung điểm của cạnh \[BC\]
Nên \[KF\] là đường trung bình của \[ ABC\]
\[ KF // AB\] và \[KF = \displaystyle{1 \over 2}AB\][tính chất đường trung bình của tam giác]
Trong tam giác \[BDC\] ta có:
\[I\] là trung điểm của cạnh \[BD\]
\[F\] là trung điểm của cạnh \[BC\]
Nên \[IF\] là đường trung bình của \[ BDC\]
\[ IF // CD\] và \[IF = \displaystyle {1 \over 2}CD\][tính chất đường trung bình của tam giác]
\[FK // AB\] mà \[AB // CD\] nên \[FK // CD\]
\[FI // CD\] [chứng minh trên]
Suy ra hai đường thẳng \[FI\] và \[FK\] trùng nhau.
\[ I, K, F\] thẳng hàng
Lại có \[AB < CD\]\[\dfrac{AB}2