Đề bài
Cho tam giác nhọn \[ABC\] có \[\widehat A = {60^0}\], trực tâm \[H.\] Gọi \[M\] là điểm đối xứng với \[H\] qua \[BC.\]
\[a]\] Chứng minh \[ BHC = BMC.\]
\[b]\] Tính \[\widehat {BMC}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \[d\] nếu \[d\] là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Tổng bốn góc của một tứ giác bằng \[360^o.\]
Lời giải chi tiết
\[a]\] Vì \[M\] đối xứng với \[H\] qua trục \[BC\]
\[ BC\] là đường trung trực của \[HM\]
\[ BH = BM\] [ tính chất đường trung trực]
\[CH = CM\] [ tính chất đường trung trực]
+ Xét tam giác \[BHC\] và tam giác \[BMC\] có:
Cạnh \[BC\] chung
\[BH= BM\] [ chứng minh trên]
\[CH = CM\] [chứng minh trên]
Suy ra: \[ BHC = BMC \;\; [c.c.c]\]
\[b]\] Gọi giao điểm \[BH\] với \[AC\] là \[D,\] giao điểm của \[CH\] và \[AB\] là \[E\]
\[H\] là trực tâm của \[ ABC\]
\[ BD AC, CE AB\]
Xét tứ giác \[ADHE\] ta có:
\[\widehat {DHE} +\widehat A + \widehat D + \widehat E= {360^0} \] [tổng 4 góc trong tứ giác bằng \[360^0]\]
\[\Rightarrow \widehat {DHE} = {360^0} - \left[ {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right] \]
\[= {360^0} - \left[ {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right] = {120^0}\]
\[\widehat {BHC} = \widehat {DHE}\] [đối đỉnh]
\[ BHC = BMC\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BHC}\]
Suy ra: \[\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}\]