Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\] Lấy các điểm \[D,\, E\] theo thứ tự trên các cạnh \[AB,\, AC\] sao cho \[BD = CE.\] Gọi \[M,\, N,\, I,\, K\] theo thứ tự là trung điểm của \[BE,\, CD,\, DE,\, BC.\] Chứng minh rằng \[IK\] vuông góc với \[MN.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức :
- Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Chứng minh \[MKNI\] là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Trong \[ BCD\] ta có:
\[K\] là trung điểm của \[BC\] [gt]
\[N\] là trung điểm của \[CD\] [gt]
nên \[NK\] là đường trung bình của \[ BCD\]
\[ NK // BD\] và \[NK =\displaystyle {1 \over 2}BD\] [1]
Trong \[ BED\] ta có:
\[M\] là trung điểm của \[BE\] [gt]
\[I\] là trung điểm của \[DE\] [gt]
nên \[MI\] là đường trung bình của \[ BED\]
\[ MI // BD\] và \[MI =\displaystyle {1 \over 2}BD\] [tính chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[MI // NK\] và \[MI = NK\]
nên tứ giác \[MKNI\] là hình bình hành
Trong \[ BEC\] ta có:
\[M\] là trung điểm của \[BE\] [gt]
\[K\] là trung điểm của \[BC\] [gt]
Nên \[MK\] là đường trung bình
Suy ra \[MK = \displaystyle {1 \over 2}CE\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Mà\[NK =\displaystyle {1 \over 2}BD\] [theo [1]] và \[BD = CE\] [gt]
Suy ra: \[MK = KN\]
Vây hình bình hành \[MKNI\] là hình thoi.
\[ IK MN\] [tính chất hình thoi]