Đề bài
Cho \[a, b Z, b> 0\]. So sánh hai số hữu tỉ \[\displaystyle {a \over b}\]và \[\displaystyle {{a + 2001} \over {b + 2001}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Nếu \[a b\] thì\[2001a > 2001b\]
\[\Rightarrow ab + 2001a > ab + 2001b\]
\[\Rightarrow a\left[ {b + 2001} \right] > b\left[ {a + 2001} \right] \]
Chia cả hai vế cho \[b.[b+2001]>0\] ta được:
\[\dfrac{{a\left[ {b + 2001} \right]}}{{b\left[ {b + 2001} \right]}} > \dfrac{{b\left[ {a + 2001} \right]}}{{b\left[ {b + 2001} \right]}}\]
\[\Rightarrow \displaystyle {a \over b} > {{a + 2001} \over {b + 2001}}\]
b] Nếu \[a < b\] thì\[2001a < 2001b\]
\[\Rightarrow ab + 2001a < ab + 2001b \]
\[\Rightarrow a\left[ {b + 2001} \right] < b\left[ {a + 2001} \right]\]
Chia cả hai vế cho \[b.[b+2001]>0\] ta được:
\[\dfrac{{a\left[ {b + 2001} \right]}}{{b\left[ {b + 2001} \right]}} < \dfrac{{b\left[ {a + 2001} \right]}}{{b\left[ {b + 2001} \right]}}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {a \over b} < {{a + 2001} \over {b + 2001}}\]
c] Nếu \[a = b\] thì \[a+2001 = b+2001\]
\[ \Rightarrow \dfrac{a}{b} = 1;\dfrac{{a + 2001}}{{b + 2001}} = 1\]
\[\displaystyle\Rightarrow{a \over b} = {{a + 2001} \over {b + 2001}}\,[=1]\].