Đề bài
Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi \[{D_1},{D_2},{D_3}\] lần lượt là điểm đối xứng của điểm D qua A, B, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện \[{D_1}{D_2}{D_3}D'\].
Lời giải chi tiết
Cách 1.
Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {b,} \,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \]
Từ giả thiết, ta có
\[\overrightarrow {B{\rm{D}}'} + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}} = 2\overrightarrow {BA} = - 2\overrightarrow b \]
mà \[\overrightarrow {B{\rm{D}}'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \]
Vậy \[\overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow {c.} \]
Lập luận tương tự như trên, ta có \[\overrightarrow {B{{\rm{D}}_2}} = \overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c \] và \[\overrightarrow {B{{\rm{D}}_3}} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \]
Vậy \[\overrightarrow {B{{\rm{D}}_1}} + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_2}} + \overrightarrow {B{{\rm{D}}_3}} + \overrightarrow {B{\rm{D}}'} = \overrightarrow 0 \]
Điều này chứng tỏ B là trọng tâm của tứ diện \[{D_1}{D_2}{D_3}D'\] .
Cách 2.
Gọi I là giao điểm của BD và mp[ABC] thì DI = 2IB.
Gọi J là giao điểm của BD với mp [D1D2D3], do D1, D2, D3là các điểm đối xứng của D lần lượt qua A, B, C nên IJ = ID hay \[D'B = {3 \over 4}D'J\].
Mặt khác I là trọng tâm tam giác ABC nên J là trọng tâm tam giác D1D2D3. Từ đó B là trọng tâm của tứ diện \[{D_1}{D_2}{D_3}D'\].