Đề bài
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp[ABCD] và SA = a.
a] Gọi D1là trung điểm của SD. Chứng minh rằng \[A{{\rm{D}}_1} \bot \left[ {SC{\rm{D}}} \right]\].
b] Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên SD. Chứng minh rằng hình chiếu của điểm O trên CM thuộc đường tròn cố định.
Lời giải chi tiết
a] Vì SA = AD = a và D1là trung điểm của SD nên \[A{{\rm{D}}_1} \bot S{\rm{D}}\]. Mặt khác, ta có \[C{\rm{D}} \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\] nên \[A{{\rm{D}}_1} \bot C{\rm{D}}.\]
Vậy \[A{{\rm{D}}_1} \bot \left[ {SC{\rm{D}}} \right].\]
b] Kẻ OH // AD1thì H là trung điểm của D1C và \[OH \bot \left[ {SC{\rm{D}}} \right]\], ngoài ra H cố định.
Gọi K là hình chiếu của O trên CM thì HK KC [định lí ba đường vuông góc]. Từ đó, suy ra điểm K thuộc đường tròn đường kính HC trong mp[SCD]. Đó là đường tròn cố định chứa hình chiếu của tâm hình vuông trên mặt phẳng [SCD].